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专题01 一元二次方程（13个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）
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这是一份专题01 一元二次方程（13个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版），文件包含专题01一元二次方程13个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲人教版解析版docx、专题01一元二次方程13个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
专题01 一元二次方程（13个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）2＝x+1 C．x2＝x2+1 D．x+2＝0
2．（2022春•南岗区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
3．（2021秋•房县期末）下列方程，是一元二次方程一般形式的是（ ）
A．2x2﹣3x＝0 B．x2＝1 C．2x2﹣3x＝﹣1 D．2x2＝﹣3x
4．（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
5．（2021秋•甘井子区期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣1
三．一元二次方程的解（共3小题）
6．（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（2021秋•雁江区期末）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1
8．（2021秋•泰州期中）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
9．（2021秋•川汇区期中）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
10．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
11．（2022春•拱墅区期中）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
12．（2021秋•重庆期末）一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
13．（2021秋•晋安区校级期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
14．（2021秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（ ）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
15．（2021秋•西青区期末）下列各数是方程x2+3x﹣10＝0的根的是（ ）
A．2和5 B．﹣5和3 C．5和3 D．﹣5和2
16．（2022春•南岗区校级期中）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0． （2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
17．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
18．（2022春•宁海县期中）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为 ．
九．根的判别式（共2小题）
19．（2021秋•碑林区校级期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．x2+2x＝0 D．2x2﹣x﹣1＝0
20．（2021秋•两江新区期末）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2021秋•天门期中）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2021的值是（ ）
A．2025 B．2021 C．2020 D．2024
22．（2021秋•密山市校级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
23．（2021秋•陵水县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
24．（2021秋•雁塔区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000 B．7500×2（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
25．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
26．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650 B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650 D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
27．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820 B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820 D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
一十二．一元二次方程的应用（共10小题）
28．（2021秋•龙岩校级期中）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
29．（2021秋•庆云县期中）骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
30．（2021秋•历城区期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
31．（2022春•呼兰区校级期末）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 ．
32．（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
33．（2021秋•陵水县期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
34．（2021秋•西山区校级期末）《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为 米；
（2）当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
35．（2021秋•平顶山期末）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．
36．（2021秋•瓦房店市期末）借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用36m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若花园的面积是224m2，求AB的长．
37．（2021秋•永城市期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
一十三．配方法的应用（共3小题）
38．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
39．（2021秋•青神县期末）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x2+y2＝ ．
40．（2021秋•唐县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：
因为x2﹣6x+10＝（x ）2+ ，所以当x＝ 时，代数式x2﹣6x+10有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ；
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
专题01 一元二次方程（13个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）2＝x+1 C．x2＝x2+1 D．x+2＝0
2．（2022春•南岗区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
3．（2021秋•房县期末）下列方程，是一元二次方程一般形式的是（ ）
A．2x2﹣3x＝0 B．x2＝1 C．2x2﹣3x＝﹣1 D．2x2＝﹣3x
4．（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
5．（2021秋•甘井子区期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣1
三．一元二次方程的解（共3小题）
6．（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（2021秋•雁江区期末）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1
8．（2021秋•泰州期中）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
9．（2021秋•川汇区期中）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
10．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
11．（2022春•拱墅区期中）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
12．（2021秋•重庆期末）一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
13．（2021秋•晋安区校级期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
14．（2021秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（ ）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
15．（2021秋•西青区期末）下列各数是方程x2+3x﹣10＝0的根的是（ ）
A．2和5 B．﹣5和3 C．5和3 D．﹣5和2
16．（2022春•南岗区校级期中）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0． （2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
17．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
18．（2022春•宁海县期中）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为 ．
九．根的判别式（共2小题）
19．（2021秋•碑林区校级期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．x2+2x＝0 D．2x2﹣x﹣1＝0
20．（2021秋•两江新区期末）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2021秋•天门期中）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2021的值是（ ）
A．2025 B．2021 C．2020 D．2024
22．（2021秋•密山市校级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
23．（2021秋•陵水县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
24．（2021秋•雁塔区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000 B．7500×2（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
25．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
26．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650 B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650 D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
27．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820 B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820 D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
一十二．一元二次方程的应用（共10小题）
28．（2021秋•龙岩校级期中）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
29．（2021秋•庆云县期中）骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
30．（2021秋•历城区期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
31．（2022春•呼兰区校级期末）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 ．
32．（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
33．（2021秋•陵水县期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
34．（2021秋•西山区校级期末）《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为 米；
（2）当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
35．（2021秋•平顶山期末）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．
36．（2021秋•瓦房店市期末）借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用36m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若花园的面积是224m2，求AB的长．
37．（2021秋•永城市期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
一十三．配方法的应用（共3小题）
38．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
39．（2021秋•青神县期末）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x2+y2＝ ．
40．（2021秋•唐县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：
因为x2﹣6x+10＝（x ）2+ ，所以当x＝ 时，代数式x2﹣6x+10有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ；
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
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