上海九年级上学期期中【压轴40题专练】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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上海九年级上学期期中【压轴40题专练】
一、填空题
1．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______．

【答案】3
【分析】如图，延长交于 过作于 求解 由旋转的性质可得：求解 证明 证明 结合 求解 证明 再利用相似三角形的性质求解 从而可得答案.
【详解】解：如图，延长交于 过作于



是的中点，

由旋转的性质可得：


















故答案为：3
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建相似三角形是解题的关键.
2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．

【答案】．
【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，

∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，

∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
3．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．

（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】     13    
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【详解】解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．

故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
4．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．

【答案】
【分析】先根据直角三角形的中线、重心的性质得出，再旋转的性质、直角三角形的性质得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】，是的中线

是的重心
（三角形的重心把中线分成两部分）

由旋转的性质得：
，
，





设，则



故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中线和重心的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记旋转的性质和三角形重心的性质是解题关键．
5．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．

【答案】
【分析】旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于证明四边形是矩形，再证明设 则 可得 求解 可得 连接 设 则 由建立方程求解，从而可得答案.
【详解】解：旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于

为的中点，


由旋转可得：


四边形是矩形，


同理可得：



设 则
则 所以

而





而

连接


设 则
由

解得： 则


故答案为：
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握各图形之间的联系，作出正确的辅助线是解题的关键，是难度大的压轴题.
6．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．

【答案】
【分析】如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，
∴DG//BC，
∴△AGD∽△ACB，可得，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=45°，
∴CG=DG，
∵AC=3，AC=AG+CG，
∴+CG=3，即=3，
解得：DG=，
∴AG=，
∴AD==，
∵将绕点旋转，如果点落在射线上，
∴AC′=AC，AE=AB，
∴∠CC′A=∠ACD=45°，
∴∠CAC′=90°，
∴旋转角为90°，
∴∠DAE=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
=．

故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．
7．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．

【答案】9
【分析】连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
【详解】解：如图，连接AC，作交BC于E点，
，，
，设AE=3x，BE=4x，
，则，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又，CE=BC-BE=4，
，
作交AD于F点，
，，
，==，
又，同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．

【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．
8．（2020·上海宝山·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到，当点在线段CA延长线上时的面积为_________．

【答案】
【分析】过B作BD⊥AC1，过A作AF⊥BC于F，解直角三角形求出BC和BD，进而得出CD，然后根据等腰三角形的性质和三角形面积公式即可解答．
【详解】解：如图，过B作BD⊥AC1，过A作AF⊥BC于F，
∴BC=BC1，
∴∠BC1C=∠C，
∵，
∴，
设AF=3x，BF=4x，则AB=5x，
∵AB＝5，
∴x=1，即AF=3，BF=4，
∴BC=8，
∴sin∠C=，
∴BD=，
在Rt△ABD中，tan∠C==，
∴，
∴DC=，
∵BC=BC1 ，BD⊥AC1，
∴CC1=2DC=，
∴A1C= CC1－AC=－5=，
∴的面积为：．

【点睛】本题考查了旋转变换和解直角三角形，通过做辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
9．（2022·上海市进才实验中学九年级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，sinB＝，点E是腰CD上的一点且CD＝4DE，当△ABE是直角三角形时，则边AD的长为_____．

【答案】或
【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，分别过点A，D，E作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，得四边形ADGF为矩形，易得AF=DG=4，BF=CG=3，根据HL证Rt△ABF≌Rt△DCG，得BF=CG，再证△CEH∽△CDG，得，由CD＝4DE，得EH=3，CH=，设点D（x，4），则点E（x+，3），当△ABE是直角三角形时，分情况讨论求解即可．
【详解】解：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，
∵AD∥BC，AB＝CD＝5，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
分别过点A，D，E作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，
∴∠AFC=∠DGB=∠FAD=90°，
∴四边形ADGF为矩形，
∴AD=FG，AF=DG，
又AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCG（HL），
∴BF=CG，
∵AB＝CD＝5，sinB＝，
∴AF=DG=4，
由勾股定理，得BF=CG=3，
∵DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，
∴∠DGC=∠EHC=90°，
∴△CEH∽△CDG，
∴，
∵CD＝4DE，
∴，
∴EH=3，CH=，
设点D（x，4），则点E（x+，3），
∵sinB＝，
∴∠B≠90°，
当∠BAE=90°时，则，
∴（x+-3）2+12+52=（x+）2+9，
解得x=，
∴AD=-3=，
当∠BEA=90°时，则，
∴（x+-3）2+12+（x+）2+9=52，
解得x1=或x2=（舍）
∴AD=-3=，
故答案为：或．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，平行线间距离处处相等，注意直角三角形要分情况讨论，建立平面直角坐标系解决问题是关键．
10．（2021·上海徐汇·九年级期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在中，，，，则的三分线中，较短的那条长为________．（只需写出一种情况即可）．

【答案】
【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据，则，，则，，得出对应边成比例，，，得出方程组，解方程组即可．
【详解】解：如图2所示，、就是所求的三分线．

设，则，，
此时，，
设，，
，
，
，
，
所以联立得方程组，
解得，
即较短的那条长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解方程组等知识，解题关键是正确作出图像．
11．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．

【答案】或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．
【详解】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点位于点左侧时，如图：
设直线交于点，

，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点位于点右侧时，如图：

与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．

二、解答题
12．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．
（1）设BC与AO相交于点D，
①若BA＝BO，求证：CD＝CO；
②求：点A到直线l的距离；
（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①见解析；②4；（2）或或
【分析】（1）①根据BA=BO，得到∠BAO=∠BOA，再根据垂直的定义可得∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，从而可以推出∠CDO=∠COD，从而得证；
②分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，可证△AOE∽△BOF，得到，再由可设，得到，，从而推出，再在直角三角形AEO中利用勾股定理求解即可；
（2）过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，则，证明△AEB∽△BOC，得到即，则，然后分当△ABC∽△BOC时和当△ABC∽△COB时两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵BA=BO，
∴∠BAO=∠BOA，
∵AB⊥BC，CO⊥BO，
∴∠ABC=∠BOC=90°，
∴∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，
∴∠COD=∠ADB，
又∵∠ADB=∠CDO，
∴∠CDO=∠COD，
∴CD=CO；

②如图所示，分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
又∵∠AOE=∠BOF，
∴△AOE∽△BOF，
∴，
∵B在直线上，
∴可设，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A到直线l的距离为4；

（2）如图所示，过点A作AE⊥直线l于E，
由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，
设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，
∴
∵AB⊥BC，CO⊥BO，AE⊥BO，
∴∠ABC=∠BOC=∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠EAB=∠ABE+∠CBO=90°，
∴△AEB∽△BOC，
∴即，
∴，
∴
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似有两种情况：
当△ABC∽△BOC时，
∴即，
解得，
∴此时；
当△ABC∽△COB时，
∴即，
解得，
∴此时或，
综上所述，当或或，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，一次函数上点的坐标特征，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．
13．（2021·上海市南洋模范初级中学九年级期中）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．

【答案】（1）10-2t；（2）或；（3）或
【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H

则四边形DHBC是矩形
∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm
∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)
在Rt△ADH中，由勾股定理得
∵DP=2tcm
∴AP=AD-DP=(10-2t)cm
（2）①当△APQ∽△ADB时
则有
∴
解得：
②当△APQ∽△ABD时
则有
∴
解得：
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；
（3）①当∠QMB=90゜时，△QMB为直角三角形
如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H

∴∠PNQ=∠BHD
∵∠QMB=90゜
∴∠PQN+∠DBH=90゜
∵∠PQN+∠QPN=90゜
∴∠QPN=∠DBH
∴△PNQ∽△BHD
∴
即4QN=3PN
∵PN∥DH
∴△APN∽△ADH
∴，
∴，
∴
由4QN=3PN得：
解得：
②当∠MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图

则PQ∥DH
∴△APQ∽△ADH
∴
∴  
即
解得：
综上所述，当或时，△QMB是直角三角形．
【点睛】本题是相似三角形的综合应用，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论的应用．
14．（2021·上海·九年级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O为对角线AC的中点，联结BO并延长，交边DC于点E．
（1）求证：△ADC∽△BOC．
（2）若，求的值．
（3）若CD＝8，OE＝3，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC=∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）设DE=k，EC=3k，先根据△DAC∽△OBC得出，再根据△OEC∽△CEB得出，，从而得出结论；
（3）设DE=x，则EC=8-x，先根据△DAC∽△OBC得出，再根据△OEC∽△CEB得出，，再根据列出方程，从而得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB=OC，AC=2OC
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
（2）∵，
∴设DE=k，EC=3k，则CD=4k，
∵△DAC∽△OBC
∴，
∴，
∴
∵∠DCA=∠OBC，∠CEB=∠BEC，
∴△OEC∽△CEB
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴；
（3）设DE=x，则EC=8-x，
∵CD＝8，OE＝3，
由（2）知△DAC∽△OBC
∴，
∴
由（2）知△OEC∽△CEB
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2021·上海·九年级期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．

（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或5s；（2）；（3）存在，
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，证得，再根据相似三角形的性质得到t的值，②当AP=AO=t=5，③当时，从而得到结论；
（2）先证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，再证得△AOP≌COE，证得AP=EC=t，得出△OEC的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得到，据勾股定理得到，由三角形的面积公式得到，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，，点O到AD的距离为3，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当AP=PO=t时
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴，
∴；
②当；
③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．
综上所述，当或5s时，为等腰三角形

（2）在矩形ABCD中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE，
∴∠PAO=∠ECO，
∴△AOP≌COE，
∴AP=EC=t，
∴，
∴
（3）存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
在矩形ABCD中，，，

∴，
∵∠POD=∠COD，
∴，
∴
∵
∴OP•DM=3PD，
∴
∴
∵PD2=PM2+DM2，
∴
解得：t=16（不合题意，舍去），
∴当时，OD平分∠COP．

【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
16．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．


（1）当DF//AB时（图1），联结EF，求DE：DF值；
（2）当点F在线段BC上时（图2），设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，即可求出DE：DF值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【详解】解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB＝6，
∵，，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，；
（2）过点E作EH⊥AC于点，则，

∴，
根据∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能：
①当DC=DE时，点F在边BC上，
过点D作DG⊥AE于点G（如图①），

可得：AE＝2AG＝3，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；
②当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M（如图②），
可证：△DFC∽△DEM，
可证：




综上所述，为或．
【点睛】本题主要考查了是一道综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
17．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）k=2；（2）E点坐标为（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF， 符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．
【分析】（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
【详解】解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，

∵PF⊥PE，
∴S△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k2﹣k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE=S△GEF，
∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE=•k﹣（k2﹣k+1）﹣k=k2﹣1
∵S△OEF=2S△PEF，
∴k2﹣1=2（k2﹣k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，

①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴，
∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k，
∴，BM=，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（1﹣）2=（）2+（）2，
解得k=，此时E点坐标为（，2），

②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，，
∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1，
∴，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（k﹣2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，
∴k=．
此时E点坐标为（，2），
∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．
18．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．

(1)求证：△ACF∽△BCE；
(2)如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；
(3)在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
(3)y＝

【分析】（1）先推出△ABC∽△FEC，进而得出∠FCE＝∠ACB，，从而得到∠FCA＝∠ECB，即可证明结论；
（2）根据三角形中位线性质可推出∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，，进而完成解答；
（3）作GQ⊥PH，交PH的延长线于Q，在（2）基础上得出PH和GH的长以及sin∠GHQ，进而完成解答．
（1）
（1）证明：∵CE⊥BF，
∴∠BEC＝∠ABC＝90°，
∵AB＝2BC，EF＝2EC，
∴，
∴△ABC∽△FEC，
∴∠FCE＝∠ACB，，
∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即：∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE．
（2）
（2）解：∵G是AB的中点，H是AE的中点，P是EF的中点，
∴GH//BE，GH＝，HP//AF，PH＝，
∠AEF＝∠GHE，∠HPE＝∠AFB，
∠PHG＝∠GHE+∠PHE＝∠AEF+∠PHE，
∵∠HPE＝180°﹣（∠AEF+∠PHE）＝180°﹣∠PHG，
∠HGP+∠HPG＝180°﹣∠PHG，
∴∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，
由（1）得：△ACF∽△BCE；
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，，
∴∠ABC+∠AFC＝180°，，
∴点A、B、C、F共圆，
∴∠AFB＝∠ACB，
∵tan∠ACB＝，
∴tan（∠HGP+∠HPG）＝2．
（3）
（3）解：如图，
作GQ⊥PH，交PH的延长线于Q，

∴∠GHQ＝∠HGP+∠HPG，
∴tan∠GHQ＝2，
∴sin∠GHQ＝，
由（2）得：，
∴AF＝BE＝x，
∴PH＝＝，GH＝，
∴GQ＝GH•sin∠GHQ＝＝x，
∴S△PGH＝＝＝，
∴y＝．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，解决问题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．
19．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．

【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或
【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【详解】解：（1）如图1，

在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴,
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，

当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由得，，
∴，
∴y＝
＝
＝；
如图3，

当3＜x＜4.5时，
由得，

∴CN＝，
∴y＝
＝；
（3）如图4，

∵，
∴，
∴CG＝CB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，

当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x=，
如图6，

当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，
∴BM＝，
∴9﹣2x＝，
∴x＝，
综上所述：x＝2或或．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．
20．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．

（1）若，求DF的长．
（2）若，求DF的长．
（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围．
【答案】（1）3；（2）2或6；（3）或
【分析】（1）根据已知条件可求出，在Rt△EFD中即可求出DF
（2）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况当P在BD下方时根据等腰三角形的性质即可求出DF，P在BD上方时根据等腰三角形的性质即可求出DF；
（3）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况①P在BD下方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，②P在BD上方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，；
【详解】解：（1）如图1，矩形ABCD中，

，
，，
，
点E是AD中点，
，
，
∴△EFD为直角三角形，
∵，
∴
．
（2）第一种情况，如图2，

，
由对称性可得，EF平分，
，

∴是等腰三角形，过点F作FM⊥ED
DM=EM= ，
∵在Rt△DMF中，，
∴．
第二种情况，如图3，

延长PE交BD于M
∵
∴∠EMD=90°
∵
∴
∴，
∵点D关于直线EF的对称点P
∴FE垂直平分PD交PD于H
∴∠HED=60°，∠HDE=30°
∴∠HDF=60°
∴∠EFD=30°
∴是等腰三角形，
∴FE垂直平分DF
∵在Rt△DME中，，
∴
∵．
∴．
综上：DF的长为2或6.
（3）∵是锐角三角形
∴当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大
由（2）可得当时，
（如图2）或6（如图3）．
当时，
第①种情况，如图4，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
．

第②种情况，如图5，

EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
，DF最大值为8，
．
综上：或．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，翻折对称等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，画出几何示意图，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
21．（2020·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）已知，在中，，，，点是边上的一个动点，点在的延长线上，且，设，．

（1）当平分（如图1）时，求的值；
（2）当时，求的正弦值；
（3）求关于的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）过C作CD⊥AB于D，由，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：9x2+16x2=25，求出x=1，AC=，由角平分线推出AP∥CE进而即可．
（2）在中，，，CE=，用勾股定理求，进而求出，在中，求，由，计算即可，
（3）如下图，作交于那么，则，利用，推导，可得，利用性质得即可求出．
【详解】（1）过C作CD⊥AB于D，
∵，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：
9x2+16x2=25，
∴x=1，
∴BD=3，CD=4，
∴DA=AB-BD=6-3=3，
∴AC=，
由平分，
∴，
∴，
∴AP∥CE，
则，
那么，即．

（2）如下图，在中，，，
∴CE=，
∴，
，，
在中，，
所以．

（3）如下图，作交于，

由，
∴，，
即，
则，
由，，
那么，
因为，
所以，
则，
可得，
那么，即，
解得．
【点睛】本题考查角平分线，直角三角形，三角函数，勾股定理，相似三角形，函数及定义域等知识，掌握并会用解决问题是解题关键
22．（2020·上海市川沙中学南校九年级期中）已知为等边三角形，是上的一个动点，（与不重合），过点作的垂线与相交于点以点为正方形的一个顶点，在内作正方形，其中在上，在上，
（1）设的长为，正方形的边长为，写出关于的函数解析式及定义域；
（2）当时，求的长；
（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

【答案】（1）；（2）CF= ；
（3）BP=
【分析】（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，则由题意可得BD=2x，DE=y，，然后根据BC=6可以得到y 关于 x 的函数解析式；
（2）若BP=2，即x=2，由（1）可得正方形 DEFG 的边长EF的长度，解直角三角形CEF可得CF的长度；
（3）设△GDP 是直角三角形，则PG⊥GD，然后可得关于x的方程，解方程可得x的值，即BP的长度．
【详解】解：（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，
由∠B=60°，PD垂直AB，则BD=2x，DE=y，EC=，
∴有，整理得： ；
（2）若BP=2，即x=2，可得，
∴；
（3）若△GDP 是直角三角形，则PG⊥GD，∴∠DPG=30°，即PD=2GD，
即，解之得： ，此即BP的长度．
【点睛】本题考查解直角三角形与一次函数的综合应用，根据直角三角形边和角的关系求解是解题关键．
23．（2020·上海浦东新·九年级期中）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．

（1）求sin∠BAC的值．
（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；（3）点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）
【分析】（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论：
①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．
【详解】（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），
∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，
∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，
如图1，过点B作BH⊥AC于H，

∴∠BCA＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BC＝BH＝6，
∴BH＝3＝HC，
∴sin∠BAC＝＝＝；
（2）∵点P在y轴上，
∴∠POC＝∠AOB＝90°，
当时，则△AOB∽△COP，
∴，
∴PO＝2，
∴点P（0，2）或（0，﹣2）；
当时，则△AOB∽△POC，
∴，
∴OP＝8，
∴点P（0，8）或（0，﹣8），
综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；
（3）如图2：取OA的中点，记为点N，

∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON＝2，
又∵OB＝2，
∴OB＝ON，
又∵∠BON＝90°，
∴∠ONB＝45°，
∴∠ACB＝∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，
∠NBA+∠OAB＝∠ONB，
∴∠OMB＝∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M1，
∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，
∴△ABN∽△AM1B
∴，
又∵AN＝2，AB＝2，
∴AM1＝10，
又∵A（0，﹣4）
∴M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，
点M1与点M2关于x轴对称，
∴M2（0，﹣6），
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
【点睛】考查了两点距离公式、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形．
24．（2020·上海宝山·九年级期中）如图，在正方形中，点、分别在边、上，，．

（1）求证：；
（2）求的值；
（3）联结，交于点，交于点，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据可证得，即是直角三角形，根据，利用勾股定理求得，，利用可以得到结果；
（3）过点，作交于点，根据，，相交于点，可证，利用四边形是正方形，求得，并可得，根据，可证，并有，根据对应边成比例可求出，设，则，是等腰直角三角形，可求出，则，利用，可得，则可得．
【详解】解：（1）设，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，即
∴
∴，
∴，
∵
∴；
（2）∵
∴
又∵
∴
∴，即是直角三角形，
∵
∴，

∴；
（3）如图示，联结，交于点，交于点，过点，作交于点，

∵四边形是正方形，
∴，，相交于点，
∴
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵，
∴
∴
由（2）可知，是直角三角形，
∴
∴
∴，即
设，则，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了正方形的定制，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的证明与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
25．（2020·上海市川沙中学南校九年级期中）如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，
（1）求和的长；
（2）当时，求的长；
（3）联结，当和相似时，求的长．

【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据正切三角函数的定义、勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，设，再根据正切三角函数、勾股定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出的值，由此即可得出答案；
（3）如图（见解析），设，先根据正切三角函数、勾股定理分别可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后分和两种情况，最后分别利用相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：（1）在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
，解得，
；
（2）如图，过点E作于点H，则四边形CFEH是矩形，
，
在中，，
设，则，
，
是BC的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
，
解得：或（不符题意，舍去），
则；

（3）如图，过点E作于点H，
在中，，
设，则，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
①当时，
，
，即，
解得，
；
②当时，
，
，即，
解得，
；
综上，BE的长为或．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
26．（2020·上海市静安区实验中学九年级期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,－2)．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴  
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标  
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

【答案】（1），对称轴为直线x＝1；（2）点F的坐标是（1，4）；（3）t的值为5
【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴即可；
（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以有CE∥AF，得到∠FAE＝∠OEC，利用tan∠FAE=tan∠OEC，即可求出EF，得到点F的坐标；
（3）计算出抛物线的顶点坐标，以及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，根据t﹥3，得出得点P在点B的右侧，表达出S△BPD与S△CDP，列出方程即可求出t的值．
【详解】解：（1）点A（－1，0）和点C（0，－2）在抛物线上，
∴，解得
∴该抛物线的表达式为：
  该抛物线的对称轴为直线x＝1
（2）∵点E为该抛物线对称轴与x轴的交点，
∴E（1，0）
∵AC与EF不平行，四边形ACEF为梯形，AC与y轴的交点为点C，
∴AF∥CE，
∴∠FAE＝∠OEC
在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
在Rt△OEC中，，
∴．
∵OC＝2，OE＝1，AE＝2，
∴，
解得EF＝4
∴点F的坐标是（1，4）

（3）∵，
∴抛物线的顶点D的坐标是，
∵点A（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标（3，0）
由点P（t，0），且t﹥3，得点P在点B的右侧，

过点D作DM⊥x轴于点M，
则，
即
∵，
∴
∴t＝5
即符合条件的t的值为5．

【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，锐角三角函数以及三角形的面积，解题的关键是灵活运用二次函数及几何知识求解．
27．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，梯形ABCD中，，，且，，点M为边BC上一动点，联结并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E，交边DC于点N，联结EF

(1)当时，求CF的长；
(2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当与相似时，求CM的长．
【答案】(1)1
(2)
(3)或

【分析】（1）如图1中，作于．首先证明四边形是正方形，求出、的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）在中，，由，可得，推出，由此构建函数关系式即可解决问题；
（3）分类讨论和即可．
(1)
如图1中，作于．

，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，，
，，
，  
，
．
(2)
如图1中，在中，，
，，
，
，
，
，  
，
，
．
(3)
当时，如图2中，作于，连接，在上取一点，使得，连接．

则，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，  
，
，，
，
，
，设，则，，
，
，
．
当时，如图3所示，由题意可得：为等腰直角三角形，即，，
在和中，
，，
，
由，得，
，即为中点，∠CFE=∠DAF=∠AMB
．此时，．

【点睛】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．

(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cos∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先由AP＝PC证明点P是BC的中点，然后借助cos∠ABC的值和BC＝6求得PB＝PA＝PC＝3，AB＝2，再借助折叠的性质求得PB'＝PB、∠APB'＝∠APB，进而利用勾股定理求得PE的长度，过点P作PH⊥B'C于点H，构造△CPH≌△PBE，最后利用等腰三角形的性质得到B'C的长度；
（2）先设AB＝AC＝4a，进而利用勾股定理和BP＝3CP得到BC、PC、PB的长，然后利用折叠得到∠PB'A＝∠PCD，PB＝PB'，然后得证△DCP∽△DB'A，再设CD＝n，PD＝m，再利用相似三角形的性质得到m与n的值，进而得到B'D和AD的长，最后得到结果．
(1)
解：（1）∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠PBA，∠PAC＝90°﹣∠PAB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是BC的中点，
∵BC＝6，cos∠ABC＝ ，
∴PC＝PB＝PA＝3，AB＝BC×cos∠ABC＝6× ＝2，
由折叠得，PB'＝PB＝PC，AP⊥B'B，∠APB＝∠APB'，
设AE＝x，则PE＝PA﹣AE＝3﹣x，
在Rt△PBE中，BE2＝PB2﹣PE2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
∴AB2﹣AE2＝PB2﹣PE2，即22﹣x2＝32﹣（3﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴PE＝ ，
过点P作PH⊥B'C于点H，则∠PHC＝∠BEP＝90°，

∵PB'＝PC，
∴点H是B'C的中点，∠CPH＝∠B'PH，
∵∠APB＝∠APB'，∠APB+∠APB'+∠CPH+∠B'PH＝180°，
∴∠CPH+∠APB＝90°，
∵∠APB+∠PBE＝90°，
∴∠CPH＝∠PBE，
又∵BP＝PC，∠PHC＝∠BEP，
∴△CPH≌△PBE（AAS），
∴CH＝PE＝ ，
∴B'H＝ ，
∴B'C＝CH+B'H＝ ＝ ．
(2)
设AB＝AC＝4a，则BC＝，
∵BP＝3CP，
∴CP＝ ，BP＝，
由折叠得，∠AB'P＝∠ABP＝45°，PB'＝PB＝，AB'＝AB＝4a，
∴∠AB'D＝∠PCD，
∵∠B'DA＝∠CDP，
∴△B'DA∽△CDP，
∴ ，
设CD＝n，PD＝m，则AD＝4a﹣n，B'D＝，
∴ ，
解得：m＝，n＝ ，
∴B'D＝，AD＝，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质得到相关的线段和角相等．
29．（2021·上海市洛川学校九年级期中）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G．

(1)如图，当点G在BC延长线上时，求的值；在点E的运动过程中，的值是否发生改变？
(2)设BE＝m，含m的代数式表示段CG的长；
(3)如果点G在BC延长线上，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．
【答案】(1)在点E的运动过程中，的值不发生改变；
(2)
(3)DF的长为或．

【分析】（1）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，证明△DCE∽△ADF，根据相似三角形的性质解答；
（2）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案；
（3）分△DEB∽△GFD、△DEB∽△DFG两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
(1)
如图1，设DE与AG交于点H，

当点G在BC延长线上时，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADH+∠CDE=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠CDE=∠DAF，
∵∠DCE=∠ADF=90°，
∴△DCE∽△ADF，
∴；
如图2，当点G在BC上时，

同理可证，△DCE∽△ADF，
∴，
综上所述，在点E的运动过程中，的值不发生改变；
(2)
如图1，当点G在BC延长线上时，
∵BE=m，BC=4，
∴EC=4-m，
由（1）可知：DF=2EC=8-2m，
∴FC=DC-DF=2-（8-2m）=2m-6，
∵AD//CG，
∴，即，
解得：，
如图2，当点G在BC上时，
∵BE=m，BC=4，
∴EC=4-m，
由（1）可知：DF=2EC=8-2m，
∴FC=DF-DC=（8-2m）-2=6-2m，
∵AD//CG，
∴，即，
解得：；
(3)
如图3，当△DEB∽△GFD时，∠GDF=∠DBE，

∵∠DCG=∠BCD，
∴△DCG∽△BCD，
∴，
∴CG=1，
∵，
∴，
解得：；
当△DEB∽△DFG时，设DF=a，则FC=2-a，EC，
∴，
∵AD//CG，
∴，即，
解得：，
∵△DEB∽△DFG，
∴，即，
整理得：3a2+8a-16=0，
解得：（舍去），
综上所述：当△DBE与△DFG相似时，DF的长为或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
30．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在中，，，点是边上的一点，且，联结，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)如果，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20

【分析】（1）根据BC=20，CD=3BD，可求出CD和BD的长，再根据AB的长可得出，再由∠ABD=∠ABC，可证明△ABD∽△CBA，即可推出结果；
（2）由（1）中的相似求出AD和CA，再由BE∥AD，得△CAD∽△CEB，即可得出BE，AE的长，即可求出S△BAE．
(1)
1）∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)
∵，
∴，
设，，
∵，
在中，由勾股定理得
，
∴．
∴，，
∵，
∴△CAD∽△CEB，．
∴，
∵，
∴，．
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，运用方程思想求出BE和AE的长是解题的关键．
31．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．

(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；
(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）过点A作于H，证明，求出，再求出，然后由锐角三角函数定义求解即可；
（2）过点作，交于点，证明，由相似三角形的性质得到，据此解题；
（3）①当点D在BC延长线上时，过点A作于点H，证明，求出，则，得到，再由三角形面积公式解题；
②当点D在BC上时，过点A作于H，过点C作交AD的延长线于M，证明，求出，再证明，得到，然后证明，求出，则，得到即可解题．
（1）
解：在中，，，，
∴
过点作，垂足为，

∴
在与中，
∴，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
在中，
（2）
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
如图，过点作，交于点，
∵，，
∵，，，，
∴，
∴
在与中，，
∴
∴，
∴，
∴

（3）
情况一：当点在的延长线上时，可证
∴，
∴．
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
情况二：当点在的边上时，可证
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
类似的，如图，过点作交的延长线于点，
可求得，
∴，
∴，
∴，
∴

【点睛】本题考查三角形综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数解析式、锐角三角函数定义、分类讨论等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．
32．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N．
（1）若BE＝，求这时AM的长；
（2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），且；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理求解即可；
（2）根据折叠的性质和勾股定理可得，根据折叠的性质可证，得到，推出，根据，的取值范围，求出定义域即可；
（3）根据等腰三角形和相似三角形的性质，得到，然后求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如下：

由折叠的性质可得
设，则，
由勾股定理得，，即
解得，即
（2）设，则，
由勾股定理得，，即
解得，即
在矩形中，
∴
由折叠的性质可得，∴
∴
∴
∴，即
解得
∵，
∴，
化简得，解得
∴
∴，且
（3）由题意可得，，∴

若△AME与△DNE相似，则
由（2）得，∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴
∴
由（2）得，化简得
解得或
又∵
∴，即
【点睛】此题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及一元二次方程的求解，一元二次不等式的求解，解题的关键是灵活运用相关知识和性质进行求解．
33．（2021·上海市奉贤区尚同中学九年级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

【答案】（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10）
【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由D为斜边上的中点，找条件证明△EDC∽△ACB即可求出DE的长；
（2）分E在BC边上和延长线上两种情况考虑，利用等腰三角形的性质计算即可；
（3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求出x的范围即可．
【详解】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6，
∴BC=8，
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴，即，
解得；
（2）分两种情况情况：
（i）当E在BC边上时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为H，

那么AD=2AH，
∴
∴，
∴，
即；
（ii）当E在CB延长线上时，

∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；
综上所述，当△BED是等腰三角形时，x的值为或2
（3）作DM⊥BC，垂足为M，

∵DM∥AC，
∴，
∴，
∴
∴，
∵△DEM∽△CDM，
∴
∴
∴，
整理得：（0＜x＜10）．
【点睛】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
34．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先用勾股定理求出，然后利用面积法求出，即可求出，证明△EAD∽△FCD，即可得到；
（2）先证明当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，再由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由△AED∽△CFD，得到，则；
（3）由，AB=3，则，根据△AED∽△CFD，得到，可以求得，，则，再由，得到，由，可得，，则．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵AD是BC边上的高，
∴，∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∴，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠C，
∴△EAD∽△FCD，
∴；
（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，
∴当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，
∵EF=GF，FA⊥EG，
∴A为EG的中点，
∵在直角三角形EDG中，A为EG的中点，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴；

（3）∵，AB=3，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴，，
∴，
在直角三角形AEF中，，
∴
在直角三角形DEF中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，列函数关系式，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
35．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G．

（1）求线段BD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段AE的长．
【答案】（1）1（2）y＝﹣1，（≤x＜2）；（3）或；
【分析】（1）利用30°角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求得线段CB、BD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出＝，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的性质探讨得出答案即可．
【详解】解：（1）在Rt△BCD中，AC＝2，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
，
，
∴，
同理∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
，
BD＝1；
（2）由（1）得，，
∵∠CDE＝∠BFC＝90°﹣∠DCF，
∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴∠ECD＝90°﹣∠BCD＝60°
∴∠ECD＝∠B，
∴△CDE∽△BFC，
∴＝，
即，
∴y＝﹣1，
当ED⊥CA时，，
所以，自变量的取值范围是≤x＜2；
（3）∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∵CB＝2，
∴AB＝4，
AD＝AB- DB＝3，
∵∠EGF＝∠CGD＝90°
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF＝∠GDC，
∴EF∥DC，
∴＝，
即＝，
解得；（舍去）

②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF＝∠GCD＝∠GDF，
∴EF＝DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG＝DG，
∴CD＝CE＝；

综上，AE＝或；
【点睛】此题考查相似的综合题，综合考查了30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
36．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点．

（1）如图，当点在边上时，联结．
①求证：；
②若，求的长；
（2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或
【分析】（1）①先证明，再证明，，推导出，得；
②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长；
（2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点．
【详解】（1）①证明：如图1，，，
（AA），
，
，，
（AA），
，
，，
，
（SAS），
，
，．
②如图1，，

，
∵
∴∠BAE=∠CBA
又∵∠AFE=∠BFC
（AA），
，
，，
，
，，
∵
∴，
，
，，
∵∠ EAC =∠ CDE=90°
∴C、A、E、D四点共圆，
∴∠CEA=∠CDA
∴△AEF∽△DCF（AA）
∴，
∴，即，
解得，
．
（2）如图2，，


，
，
，
，，
，
，
，
∵
∴ C、E、A、D四点共圆
又∵∠ CDE=90°
∴ ∠ CAE=90°
∴，
，
，
，
∴ △AFE ∽ △ BFC

，

如图3，，

，
，，
设交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，

，
；
如图4，，则，

，，
，
，
，
射线与射线没有交点，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，分类讨论等腰三角形PCE边的关系式解决本题的关键．
37．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．
【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；
（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ．
【详解】（1）①证明：在菱形中，
，
，
，
，
∴（ASA），
∴．
②解：如图1，连结．
由①知，，
．
在菱形中，，
∴，
设，则．
，
∴，
∴，
∴．

（2）解：在菱形中，，
，
，
同理，，
∴．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当时，，
，
，
，
．
②如图3，当时，
，
，
，
∴．
③如图4，当时，
，
，
，
．
综上所述，当或2或时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．
38．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值

【答案】（1）见解析，（2）（），（3）或
【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABC∽△BEF即可；
（2）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABD∽△BCD，列出比例式即可得出关系式，根据点E在∠MAN外部确定定义域即可；
（3）分类讨论，当∠ABD=90°和∠ADB=90°时，利用sinA＝，求出AC的值即可得出BF．
【详解】（1）证明：∵EF∥AN，
∴∠FEB=∠CBA，
∵∠PBQ＝∠A，
∴△FEB∽△CBA，
∴，
（2）作BG⊥AD于G，
∵sinA＝，AB＝9，
∴，解得，，
，
∵∠PBQ＝∠A，∠BDC＝∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴，即，
∵，
∴，，
解得，；
∵，BF＝x．
∴，，
，
；
当点E在AD上时，点E和点C重合，BC＝6，
，
，
作FM⊥BC，设FM为3n，BF为5n，则BM为4n，EM为6-4n，
，
解得，，，
，
故定义域为：；


（3）当∠ABD=90°时，
∠DBC+∠CBA=90°，∠DBC＝∠A，
∴∠A+∠CBA=90°，
∴∠ACB=90°，
由（2）可知，，；

当∠ADB=90°时，
由（2）可知，，，
∵∠DBC＝∠A，sinA＝，
设CD为3m，CB为5m，
，
解得，（负值舍去），
，
；
综上，BF的值为或

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是通过作辅助线，关键直角三角形，利用三角函数或相似三角形进行推理证明．
39．（2022·上海市罗山中学九年级期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区．

(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．
表：轮椅坡道的最大高度和水平长度
坡度
1：20
1：16
1：12
1：10
1：8
最大高度（m）
1.20
0.90
0.75
0.60
0.30
水平长度（m）
24.00
14.40
9.00
6.00
2.40


【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m
(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析

【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．
（1）
解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m，
∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4，
∴AE＝4×2.4＝9.6（m），
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AE＝DF＝9.6m，
∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），
AB＝＝＝10.4（m）＝CD，
∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），
答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．

（2）
解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4，
∴E＝5×4＝20（m），
∴A＝20﹣9.6＝11.4（m），
G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），
∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），
点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），
∵14.2＜14.4，
∴轮椅坡道的设计不可行．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．
40．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cos∠ABC＝，射线CM//AB， D为线段BC上的一动点且和B、C不重合，连接DA，过D作DE⊥DA交射线CM于E，联结AE，作EC＝EF，交 BC的延长线于F，设x＝BD．
（1）当AD∥EF，求BD；
（2）若y＝CE，求y关于的数解析式，并写出定义域；
（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．

【答案】（1）18；（2）（9 【分析】由CM∥AB及AD∥EF、EC=EF可得AB=AD，过A作AN⊥BD于N，则BN=DN，且由cos∠ABC＝可求得BN，从而求得BD；
（2）过A作AN⊥BD于N，过E作EH⊥CF于H，由DE⊥AD可证得Rt△AND∽Rt△DHE，由相似三角形的性质即可求得y与x的函数关系式；
（3）过E作EH⊥CF于H，分两种情况考虑：①△DEG∽△DEC，由相似三角形的性质可得CD=GD，∠GDE=∠CDE，∠GED=∠CED，从而易得△ADB≌△ADG，得到GD=BD，则点D是BC的中点，从而得BD=20；②△DEG∽△EDC，则易得四边形DCEG是平行四边形，因而可得四边形ABCE是平行四边形，则CE=AB=15，由（2）中的函数关系式解方程即可求得x的值，也即BD的值．
【详解】（1）∵CM∥AB，AD∥EF
∴∠ABD=∠ECF，∠ADB=∠F
∵EC=EF
∴∠ECF=∠F
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
过A作AN⊥BD于N，则BN=DN，如图
在Rt△ABN中，
∵AB=15
∴
∴BD=BN+DN=9+9=18

（2）过A作AN⊥BD于N，过E作EH⊥CF于H，如图
∴∠EDH+∠DEH=90°
∵DE⊥AD
∴∠ADE=90°
∴∠ADN +∠EDH=90°
∴∠ADN=∠DEH
∴Rt△AND∽Rt△DHE
∴
即
∵CM∥AB
∴∠ECH=∠ABC
∴
在Rt△ECH中，，由勾股定理得：
∵BD=x，BC=40
∴CD=BC－BD=40－x
∴
又由（1）知：BN=9
由勾股定理得：
当x≤9时，点E不在射线CM上，与题意不符
∴x>9
∴DN=BD－BN=x－9
∴由得：
即
整理得：
∵
∴x<25
∴9 即函数的定义域为：9
（3）过E作EH⊥CF于H，如图所示
①若△DEG∽△DEC
则由相似三角形的性质可得∠GDE=∠CDE，∠GED=∠CED，
∴GD=CD
∵EC=EF，EH⊥CF
∴∠CEH=∠FEH
∴∠DEH=∠DEC+∠CEH=∠AEF
∵∠DEH+∠EDH=90°，∠GDE+∠ADG=∠ADE=90°，∠GDE=∠CDE
∴∠ADG=∠DEH=∠AEF
∵∠BDG=∠AEF

∴∠ADG=∠BDG
∴∠ADB=∠ADG
∵∠BDG=∠AEF，∠BDG+∠GDF=180°
∴∠AEF+∠GDF=180°
由四边形的内角和知，∠DGE+∠DFE=180°
∵∠AGD+∠DGE=180°
∴∠AGD=∠DFE
∵EC=EF
∴∠DFE=∠ECH
∴∠AGD=∠ECH
∵∠ECH=∠ABC
∴∠AGD=∠ABC
在△ADB和△ADG中

∴△ADB≌△ADG
∴GD=BD
∵CD=GD
∴CD=BD
则点D是BC的中点
∴
②若△DEG∽△EDC
则∠GED=∠CDE，∠GDE=∠CED
∴GE∥CD，DE∥CE
即四边形DCEG是平行四边形
∵CM∥AB
∴四边形ABCE是平行四边形
∴CE=AB=15
由（2）知y=15，即
化简得：
解得：，（舍去）
∴x=13
经检验x=13是原方程的解
即BD的值13．

综上所述，B D的值为20或13．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判断与性质，平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性强，计算量较大，灵活运用这些知识是关键和难点，对学生的能力提出了更高的要求．