专题01相似三角形（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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专题01相似三角形（11个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
四．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
五．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
七．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
九．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十、平面向量
1.平面向量的相关概念
向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
2.平面向量的加减法则
几个向量相加的多边形法则；
向量减法的三角形法则；
向量加法的平行四边形法则．
3.实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
如果k = 0或，那么．
4.实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
；；．
平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
5.单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
6.向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．
7.向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
【专题过关】
一．三角形的重心（共4小题）
1．（2022秋•上海月考）三角形的重心正确的叙述是（　　）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中垂线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条高的交点
2．（2022•徐汇区模拟）已知：P为△ABC的重心，连接BP并延长，交AC于点D．设＝、＝，则＝　 　.（请用含、的式子表示）．
3．（2022•宝山区模拟）已知点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么向量用向量、表示为　 　．
4．（2021秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，点F为△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．
（1）求的值；
（2）如果＝，＝，用、表示和．





二．*平面向量（共3小题）
5．（2022春•杨浦区校级期末）如果是非零向量，那么下列等式正确的是（　　）
A．＝ B．||＝|| C．+＝0 D．||+||＝0
6．（2022•浦东新区二模）已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，设，，那么向量用向量、表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022•徐汇区校级自主招生）我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且∥，存在唯一实数λ，使得＝λ，记作f（，）＝λ，如图，已知A、B、C、D为同一直线上顺次四点．
（1）若f（，）＝﹣2，则f（，）＝　 　；
（2）若＝﹣1，则称A、B、C、D为调和点列，请探究此时AB、AC、AD这三条线段的长度满足的关系，并证明．


三．比例的性质（共8小题）
8．（2021秋•虹口区月考）已知x：y＝3：2，则（x+y）：x等于（　　）
A．3：2 B．5：2 C．5：3 D．3：5
9．（2021秋•普陀区校级月考）已知＝，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022秋•普陀区校级月考）如果，那么的值等于 　 　．
11．（2022秋•上海月考）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．



12．（2021秋•徐汇区校级月考）已知，求的值．




13．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5．
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．




14．（2021秋•奉贤区校级期中）已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．



15．（2021秋•普陀区校级月考）已知：＝＝，2x+y+z＝45，求代数式3x+2y﹣z的值．






四．比例线段（共4小题）
16．（2022秋•嘉定区月考）已知线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a和c的比例中项是 　 　厘米．
17．（2022秋•嘉定区月考）在比例尺为1：400000的一张地图上，得A、B两地的距离是8厘米，那么A、B两地的实际距离是 　 　千米．
18．（2022秋•普陀区校级月考）已知a＝4，c＝13，则a，c的比例中项是 　 　．
19．（2021秋•宝山区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．





五．黄金分割（共5小题）
20．（2022秋•上海月考）已知线段AB长为1cm，P是AB的黄金分割点，则线段PA的长 　 　．
21．（2022•宝山区模拟）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为　 　．
22．（2021秋•长宁区校级月考）如果点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若AB＝16，则PA＝　 　．
23．（2021秋•虹口区月考）已知点P是线段MN的黄金分割点，且MP＜PN，那么的值为 　 　．
24．（2022秋•宝山区校级月考）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．
（1）若AB＝1，求AC的长；
（2）若AC比BC大2，求AB的长．





六．平行线分线段成比例（共4小题）
25．（2022春•闵行区校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是（　　）

A．EC：CG＝5：1 B．EF：FG＝1：1 C．EF：FC＝3：2 D．EF：EG＝3：5
26．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．
（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．




27．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，HG∥AD交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
（1）求证：AH⊥BC；
（2）求AG的长．




28．（2021秋•松江区月考）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM：MB＝2：3，AD＝2，BC＝7．求MN的长．




七．相似图形（共3小题）
29．（2021秋•奉贤区校级期中）下列各组图形中，不一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．两个等腰直角三角形
C．各有一个角是50°的两个直角三角形
D．各有一个角是100°的两个等腰三角形
30．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　 　．
31．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝　 　．

八．相似三角形的性质（共3小题）
32．（2022秋•上海月考）用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（　　）
A．△ABC放大后，各内角大小不变
B．△ABC放大后，各边长的长度不变
C．△ABC放大后，周长发生变化
D．△ABC放大后，面积发生变化
33．（2022秋•上海月考）如图，△ADE∽△ACB，已知∠A＝40°，∠ADE＝∠B，则∠C＝　 　°．

34．（2022秋•上海月考）两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，则它们的周长分别为 　 　．
九．相似三角形的判定（共2小题）
35．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：如图，AD•AB＝AE•AC，求证：△ADC∽△AEB．



36．（2021秋•普陀区校级月考）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．


一十．相似三角形的判定与性质（共10小题）
37．（2022秋•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）
①AD2＝BD•CD
②AB•CD＝AC•AD
③AC2＝BC•CD
④AB2＝AC•BD

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
38．（2022秋•普陀区校级月考）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△NDM：S四边形ANME＝　 　．

39．（2022秋•上海月考）如图，＝3，G为AF的中点，则＝　 　．

40．（2022秋•嘉定区月考）如图，已知E是平行四边形ABCD边AD上的一点，AE：ED＝3：2，AC、BE相交于点F，FC＝10．求AF的长．



41．（2022秋•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠ADE＝∠C，DE交边AC于点E．
（1）求证：＝；
（2）若＝，求证：∠ABD＝∠ADB．


42．（2022秋•宝山区校级月考）如图，已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点，联结CE并延长交BA的延长线于点F，联结BE、DF．
（1）若△AEF面积为2，△AEB面积为3，求△FDC的面积；
（2）当∠ABE＝∠DFE时，求证：EF2＝AF•DC．



43．（2022秋•上海月考）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE＝DF，点P是EF的中点．
（1）在边AB上找一点M，使得BM＝BE，求证：△BEM与△PFA相似；
（2）若∠AEB＝75°，AB＝2，求△DFP的面积．









44．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．
（1）求证：AE∥DO；
（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．



45．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．








46．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求证：＝．










一十一．相似三角形的应用（共2小题）
47．（2022秋•宝山区校级月考）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　 　米．

48．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质电话线杆，且电线、电话线及河两边都是平行的．O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度 　 　（填能或不能或不一定）．

一十二．向量的线性运算（共2小题）
49．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝　 　．

50．（2021•上海模拟）具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+＝，如下图所示：如果＝，＝，则＝+，若D为AB的中点，＝，若BE为AC上的中线，则用，表示为 　 　．