上海九年级上学期期中【常考60题考点专练】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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上海九年级上学期期中【常考60题考点专练】
一．三角形的重心（共2小题）
1．（2021秋•徐汇区期中）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、F，则的值为 　　．

【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3．
【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，
∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．
三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．
相似三角形的三边对应成比例．
2．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．
【解答】解：延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴EG＝CD＝×4＝．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．
二．*平面向量（共2小题）
3．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．

【分析】（1）根据已知＝，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；
（2）由三角形法则解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，
∴＝＝．
又∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝＝，即＝．
（2）＝+＝﹣+．
【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．
4．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．
（1）用向量、分别表示向量、；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．

【分析】（1）由平行线分线段成比例的性质可知，则，由于＝，，根据向量加法的三角形法则即可求出向量、；
（2）作DF∥BE交AC于F，由平行线分线段成比例的性质可知向量分别在、方向上的分向量．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，AD＝2BD，
∴，
∴，（2分）
∵与方向相同，
∴，（2分）
∵＝，
∴．（2分）
∵，
∴．（2分）
（2）作出的图形中，在方向上的分向量，
＝+﹣＝﹣+﹣（﹣+）＝﹣+，
方向上的分向量＝＝（+）＝+．

【点评】本题难度中等，考查了平行线分线段成比例的性质和向量加法的三角形法则及作图．
三．比例的性质（共3小题）
5．（2021秋•浦东新区期中）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
6．（2021秋•浦东新区期中）若＝，则＝　﹣　．
【分析】根据比例设x＝2k，y＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝5k（k≠0），
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
7．（2021秋•闵行区校级期中）若＝，则＝　　．
【分析】设＝k，则a＝bk，c＝dk，e＝fk，代入式子再整理即可．
【解答】解：设＝＝k，
则a＝bk，c＝dk，e＝fk，
∴＝＝＝k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查比例的基本性质，设出参数并正确整理是解题关键．

四．比例线段（共4小题）
8．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
9．（2021秋•长宁区校级期中）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（　　）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选：B．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
10．（2021秋•金山区校级期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵2：3＝4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；
B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；
C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；
D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．
11．（2021秋•金山区校级期中）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是　4　厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
五．黄金分割（共2小题）
12．（2021秋•奉贤区校级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　3﹣3　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
13．（2021秋•奉贤区校级期中）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝　﹣1　．（保留根号）
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×2＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
六．平行线分线段成比例（共5小题）
14．（2021秋•奉贤区校级期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质一一分析．
【解答】解：A、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
C、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得故x＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
15．（2021秋•普陀区期中）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 　7.5　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
16．（2021秋•松江区校级期中）如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DF＝8，BC＝6，则DE＝　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理，求出的值，根据题意计算即可．
【解答】解：∵l1∥l3，AB＝4，BC＝6，
∴＝＝，又DF＝8，
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．（2021秋•浦东新区期中）如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，下列比例式中，能判定DE∥BC的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案，注意对应线段的确定．
【解答】解：A、才能判定DE∥BC，错误；
B、不能判定DE∥BC，错误；
C、才能判定DE∥BC，正确；
D、才能判定DE∥BC，错误；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的确定．
18．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∵CE≠AC，
∴．故本答案错误；
B、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
C、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴．
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
D、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，故本答案正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关键．
七．相似图形（共2小题）
19．（2021秋•奉贤区校级期中）下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形
B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形
D．两个等腰三角形
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个周长相等的直角三角形的对应角不一定相等，不符合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似形的定义是解题的关键．
20．（2021秋•青羊区校级期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　145　度．
【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠ADC，
又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，
∴∠ADC＝145°，
故答案为：145．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”，利用相似三角形的性质是解题的关键．
八．相似三角形的性质（共5小题）
21．（2021秋•沈河区校级期中）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
22．（2021秋•金山区校级期中）已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠A＝∠D＝40°或∠B＝∠D＝60°或∠C＝∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，关键是相似三角形的对应角相等解答．
23．（2021秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　）

A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，
此时0＜PC＜8；

如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，
此时0≤PC＜8；

如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，
当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，
∴CP＝2，
∴此时，0＜CP≤2；

综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
24．（2021秋•奉贤区校级期中）两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为　2：3　．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比＝＝．
故答案为2：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
25．（2021秋•徐汇区期中）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　　（结果保留根号）．

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．
九．相似三角形的判定（共6小题）
26．（2021秋•宝山区期中）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
27．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（　　）

A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
【解答】解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
28．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE＝EC，∠AEG＝∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由＝得到△ABC∽△EDF；利用＝或＝可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC，从而得到△ABC∽△EDF，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：当＝时，则＝，而∠B＝∠AEG，所以△ABC∽△EDF；
当＝，则＝，而∠DEF＝∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE＝EC，所以∠EAG＝∠C，而∠AEG＝∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF；
当＝，则＝，而∠DEF＝∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE＝EC，所以∠EAG＝∠C，而∠AEG＝∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
29．（2021秋•徐汇区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（　　）

A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DCE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B＝∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
30．（2021秋•长宁区校级期中）如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 　∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）　，使得△ADE∽△ABC．

【分析】由∠DAB＝∠CAE，可证得∠BAC＝∠DAE，然后由相似三角形的判定定理，可添加∠B＝∠D或∠C＝∠DEA或AB：AD＝AC：AE或AD•AC＝AB•AE等．
【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE．
故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
31．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．

【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．
【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
一十．相似三角形的判定与性质（共15小题）
32．（2021秋•松江区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝　2　．

【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长．
【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2＝AD•BD＝4，即CD＝2．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
33．（2021秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为　18　．

【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵EC＝2BE，
∴BC＝3BE，
即：AD＝3BE，
∴S△AFD＝9S△EFB＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质，得到AD与BC平行且相等，得到相似三角形，然后用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方求出三角形的面积．
34．（2021秋•浦东新区期中）在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，∠E＝∠B，AC＝2，BC＝3，CE＝6，那么CD＝　4　．
【分析】可先作出简单的图形，进而结合图形可得△ABC∽△DEC，得出对应边成比例，进而可得出结论．
【解答】解：如图，
∵∠E＝∠B，∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，∴AC：CD＝BC：CE，
又AC＝2，BC＝3，CE＝6，
∴CD＝4，
故答案为4．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定即性质问题，能够熟练掌握．
35．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，矩形DEFG内接于△ABC，BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，则BC边上的高的长是　4cm　．

【分析】根据矩形DEFG内接于△ABC，由S△ABC＝S△AGF+S梯形BCFG可得出答案．
【解答】解；过A点作BC边上的高AH，交GF于M，交BC于H，
由S△ABC＝S△AGF+S梯形BCFG可得，
BC×AH＝GF×AM+（GF+BC）×AH，
将BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2代入上式可得AH＝4cm．
故答案为：4cm．
【点评】此题考查学生对三角形面积和梯形面积的理解和掌握，也可利用相似三角形的判定与性质和矩形性质解答此题，总之，不管用哪种方法，只要学生能正确解答，都要积极给予鼓励，激发他们的学习兴趣．
36．（2021秋•闵行区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一点，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么的值等于 　　．

【分析】根据角平分线的定义得∠BAQ＝∠CAP，而∠ACD＝∠B，根据相似三角形的判定得到△ABQ∽△ACP，由相似三角形的性质得到＝，把AB＝3，AC＝2代入即可得到答案．
【解答】解：∵AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠CAP，
而∠ACD＝∠B，
∴△ABQ∽△ACP，
∴＝，
又∵AB＝3，AC＝2，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了角平分线的定义．
37．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．

【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
38．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若△ABC的边长为9，BD＝3，求CE的长．

【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，结合三角形的内角和定理可求解∠BAD＝∠EDC，进而可证明结论；
（2）利用相似三角形的性质可计算求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠BAD+∠ADB＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°．
∴∠BAD＝∠EDC．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴．
∵AB＝9，CD＝9﹣3＝6，
∴，
∴CE＝2．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，证明∠BAD＝∠EDC是解题的关键．
39．（2021秋•金山区校级期中）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为　　cm．

【分析】设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，所以AP＝（10﹣x）cm，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求出x．
【解答】解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，
∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴x＝（cm），
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．
40．（2021秋•金山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝　　．

【分析】根据AC2＝AD•AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可．
【解答】解：∵AC2＝AD•AB，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，
∴
解得：CD＝，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是利用已知条件证得两个三角形相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求得结论．
41．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝　　．

【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得∠EDC＝∠ECD，从而EC＝DE；再DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得DE的长，即为EC的长．
【解答】解：∵DC为∠ACB的平分线
∴∠BCD＝∠ECD
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠BCD
∴∠EDC＝∠ECD
∴EC＝DE
∵AD＝8，BD＝10
∴AB＝18
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴＝
∵AD＝8，AB＝18，BC＝15
∴＝
∴DE＝
∴EC＝
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
42．（2021秋•浦东新区期中）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，延长BC至F使CF＝CE，联接DF，延长BE交DF于点G．求证：BG•EG＝DG2．

【分析】先利用正方形的性质得到CB＝CD，∠BCD＝90°，则利用“SAS”可判断△BCE≌△DCF，所以∠CBE＝∠CDF，加上∠DBE＝∠CBE，则∠DBE＝∠CDF，于是根据相似三角形的判定方法可判断△GED∽△GDB，然后利用相似比即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠CDF，
∵∠EGD＝∠DGB，∠EDG＝∠DBG，
∴△GED∽△GDB，
∴DG：BG＝EG：DG，
∴BG•EG＝DG2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．
43．（2021秋•浦东新区期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC＝AB•DE．

【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE＝∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E＝∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE•DC＝AB•DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
44．（2021秋•黄浦区期中）如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF．
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

【分析】（1）首先由△ABC和△CEF均为等腰直角三角形可得AC：BC＝CE：CF，∠ACE＝∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE＝∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE＝90°，判断出∠EBF＝90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，
∴＝＝，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，
又∵＝＝，AE＝2
∴＝，∴BF＝，
又∵∠CAE+∠CBE＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF2＝BE2+BF2＝12+（）2＝3，
∴EF＝，
∵CE2＝2EF2＝6，
∴CE＝．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．
45．（2021秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．

【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴＝＝，
∴CD•CG＝FC•BD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
46．（2021秋•松江区校级期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　或　．

【分析】结合勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，通过证明△GBM∽△BCA，△AGH∽△ABD，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点C的位置要进行分类讨论．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，

∵l∥BC，
∴，∠MGB＝∠ABC，
又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即，
解得：BM＝，
∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA，
∴，
∴，
解得：GB＝，
∴AG＝AB﹣GB＝，
∵l∥BC，
∴△AGH∽△ABD1，
∴，
∵CD1＝1，
∴BD1＝BC﹣CD1＝3，
∴，
解得：GH＝；
②当点D位于C点右侧时，如图：

与①同理，此时BD2＝BC+CD2＝5，
∴，
解得：GH＝，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出△GBM∽△BCA，特别注意分类思想的运用是解题关键．
一十一．相似三角形的应用（共3小题）
47．（2021秋•徐汇区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　3cm　．

【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，

∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
48．（2021秋•闵行区校级期中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为　　米．

【分析】易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值．
【解答】解：∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
＝，
解得h＝，
故答案为．

【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两三角形相似，对应边成比例．
49．（2021秋•宝山区期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

【分析】（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．

∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．

（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，

∵AR∥GT，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
一十二．锐角三角函数的定义（共4小题）
50．（2021秋•静安区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝2，
A．sinA＝＝，故此选项错误；
B．cosA＝＝，故此选项错误；
C．tanA＝＝，故此选项错误；
D．cotA＝＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
51．（2021秋•金山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（　　）
A．b＝atanB B．a＝ccosB C． D．a＝bcosA
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴A、tanB＝，则b＝atanB，故本选项正确，
B、cosB＝，故本选项正确，
C、sinA＝，故本选项正确，
D、cosA＝，故本选项错误，
故选：D．
【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．
52．（2021秋•浦东新区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值是　　．
【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴cosA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
53．（2021秋•宝山区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出AB的值，再根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，cosB＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对锐角三角函数的定义及勾股定理的综合运用．
一十三．特殊角的三角函数值（共1小题）
54．（2021秋•黄浦区期中）计算：．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝3+2．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
一十四．解直角三角形（共1小题）
55．（2021秋•黄浦区期中）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，根据已知求出AD＝2DC，AB＝3AD，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
一十五．解直角三角形的应用（共2小题）
56．（2021秋•松江区校级期中）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

【分析】（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形cos∠BMH＝＝＝0.4，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝0.4，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝，
∴MI≈19.80cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
57．（2021秋•徐汇区期中）图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．

（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．
【分析】（1）当∠ANB＝45°时，根据等腰三角形的性质可得∠NMB＝90°．再根据等腰直角三角形的性质和三角函数可得BN的长度，根据CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN即可求解；
（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．根据三角函数可得BN＝2BE＝12cm，CB＝AN＝20cm，依此即可作出判断．
【解答】解：（1）当∠ANB＝45°时，
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝45°，
∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．
在Rt△NMB中，sin∠B＝，
∴BN＝＝＝12cm．
∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．
（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝30°
在Rt△BEM中，cos∠B＝，
∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM） cos∠B＝6cm．
∵MB＝MN，ME⊥CB，
∴BN＝2BE＝12cm．
∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，
∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．
随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，
∴倾斜角不可以小于30°．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
58．（2021秋•徐汇区期中）某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝　1：　．
【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．
【解答】解：由勾股定理得：＝100米，
∴坡度i＝＝1：．
故答案为：1：．
【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理．
59．（2021秋•闵行区校级期中）一个钢球沿着坡比为i＝1：3的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是 　　米．
【分析】根据坡比，用未知数表示出坡面的铅直高度和水平宽度，然后运用勾股定理求解．
【解答】解：如图；Rt△ABC中，∠C＝90°，i＝tanA＝，AB＝5．
设BC＝x，则AC＝3x，
根据勾股定理，得：
x2+（3x）2＝52，
解得：x＝（负值舍去）．
故此时钢球距地面的高度是米．

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
60．（2021秋•松江区校级期中）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为　（5+5）　m（结果保留根号）

【分析】作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．
【解答】解：作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，
BE＝CD＝5m，
CE＝＝5m，
在Rt△ACE中，
AE＝CE•tan45°＝5m，
AB＝BE+AE＝（5+5）m．
故答案为：（5+5）．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．