(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第20讲《导数与三角函数的综合问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第20讲 导数与三角函数的综合问题高考预测一：含三角函数的不等式恒成立问题 1．设．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：，则，设，则，（2分）当时，，即为增函数，所以，即在时为增函数，所以．（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，所以，（6分）设，则，设，则，当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，所以对任意的恒成立．（8分）又，时，，所以时对任意的恒成立．（9分）当时，设，则，，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意．综上，实数的取值范围为，．（12分）（Ⅱ）解法二：因为等价于（6分）设，则可求，（8分）所以当时，恒成立，在，是增函数，所以，即，即所以时，对任意恒成立．（9分）当时，一定存在，满足在时，，所以在是减函数，此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，综上所述，时，对任意恒成立．（12分）2．已知函数的定义域为，且对任意实数、，都有（a）（b），当时，恒成立．（1）求证：函数是上的减函数；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）证明：设，则，当时，恒成立，则，，函数是上的减函数；（2）解：，则．不等式．①当时，，显然成立；②，则且△，解得．综上，实数的取值范围是，．3．已知函数，其中，为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．【解析】解：（Ⅰ），令，当，，，单调递增，（2分），，，单调递减                             （4分）（Ⅱ） 令，即恒成立，而，令，，，在，上单调递增，，（6分）当时，，在，上单调递增，，符合题意；当时，在，上单调递减，，与题意不合；                                            （8分）当时，为一个单调递增的函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当，时，，从而在，上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为，（12分）4．已知函数，，当，时，（Ⅰ）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：，函数在处的切线与轴平行，则，得．证明：①当，时，，令，则．当，时，，在，上是增函数，，即．②当，时，，令，则．当，时，，在，单调递增，，，综上可知：；（Ⅲ）解：设．令，则，令，则．当，时，，可得是，上的减函数，，故在，单调递减，．．当时，在，上恒成立．下面证明当时，在，上不恒成立．．令，则．当，时，，故在，上是减函数，，．当时，．存在，使得，此时，．即在，不恒成立．综上实数的取值范围是，．高考预测二：含三角的不等式证明5．已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有．【解析】解：（Ⅰ），，由，解得，当，，，此时，函数单调递减，当，，，此时，函数单调递增，故的单调增区间为，，，单调递减区间为，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，又，故，当，，且函数的图象是连续不间断的，在区间，内至少存在一个零点，又在区间，是单调的，故，因此当时，有成立．当时，有．当时，．综上证明：对一切，有．6．已知函数，．若不存在极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，证明：．【解析】解：（Ⅰ），设，（1）时：，在上单增，其值域是，存在，使，且在处左右两边值异号，是的极值点，得不可取；（2）时：时，，在其上单减时，，在其上单增，在处取极小值也是最小值若 即，，在上单增，无极值点得可取，若 即在上的值域是，存在，使，且在处左右两边值异号，是的极值点得不可取；所以的取值范围是，．（Ⅱ），，故，，要证明，只需证明，（1）当时，，，故成立；（2）当时，设，则，设，则，，，故在，递增，故（1），即，故在，递增，故（1），即，综上，若，．7．（1）证明：，时，（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）证明：记，则，当时，，在，上是增函数，当，时，，在，上是减函数，又，（1），当，时，，即，记，则当时，，在，上是减函数．则，即．综上，；（2）当，时，不等式恒成立，即恒成立，也就是恒成立，即恒成立，则在，上恒成立．恒成立，解得．实数的取值范围是，．8．（1）证明：当，时，；（2）证明：当时，对，恒成立．【解析】证明：（1），则，，，，，恒成立，在，上递减，，，，在，上递减，；（4分）记，则，，恒成立，，在，上递增，，，在，上递增，；；（7分）（2），时，，当时，对，恒成立．（14分）9．已知函数，．若对于任意的实数恒有，求实数的取值范围．【解析】解：对于任意的实数恒有，即有，即，显然，时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况．当时，，即为，由，则，考虑的导数为，即递减，即有，即，则有，故，即有，解得．则实数的取值范围为，．10．已知函数．（1）讨论函数在区间，上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立．【解析】（1）解：函数的定义域是，，①当时，，则，则函数在上单调递减，即函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为；②当时，令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，函数在区间，上单调递增，故函数在区间，上的最小值为（1），当，即时，函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为，当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间，上的最小值为，综上，当时，函数在区间，上的最小值为；当时，函数在区间，上的最小值为；当时，函数在区间，上的最小值为（1）．（2）证明：当时，，要证，即证，因为，所以两边同时乘，得，即证，当时，，而，所以成立，即成立，当时，令，则，设，则因为，因为，所以，所以当时，单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即成立，综上，对任意，恒有成立．11．已知函数．（Ⅰ）求证：有唯一零点，且；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的，当，时，，求实数的取值范围．【解析】证明：函数，则，又，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，又，（1），所以在上存在唯一零点；解：由知，，时，，所以，即问题等价于在，恒成立，令，令，当，时，，，所以，即，故在，上单调递减，所以当，时，，所以，故实数的取值范围是．12．已知函数．（1）当时，设，求的最小值；（2）求证：当，时，．【解析】（1）解：函数，所以，则，故在,上恒成立，所以在,上单调递增，则有，所以在,上单调递增，则有，故的最小值为0；（2）证明：令，则在,上恒成立，所以在,上单调递减，则有，所以，即,由（1）可知，对,恒成立，即，即，当时，,因为,所以，所以，故，令，则对恒成立，所以在,上单调递增，则有，即，所以，故．13．已知函数．（1）求函数在内的单调递增区间；（2）当，时，求证：．【解析】解：（1）由题意知，，，所以当时，解得，即在的单调递增区间是，；（2）证明：令，，只需证即可，，，故在单调递减，即，，所以，从而在上单调递减，即恒成立，当时，恒成立，即，由（1）知，当时，恒成立，综上，得证．14．已知函数，为常数）．（1）求函数在处的切线方程；（2）设．（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；（ⅱ）若为奇数，不等式在，上恒成立，求实数的最小值．【解析】解：（1）函数，所以，则，当时，，故切点为，由点斜式可得函数在处的切线方程为，即；（2）当为偶数时，，则，令，则，因为且，所以在上恒成立，则在上单调递减，其中，，因为在有极值点，所以且，即，当时，存在，使得，令，即，在上单调递增；令，即，在，上单调递减，所以在有极值点，故实数的取值范围为．当为奇数时，在，上恒成立，当时，；当时，恒成立，又，令，则，，所以，因为，①当时，，所以恒成立，所以在，上单调递减，所以，故符合题意；②当时，则在上恒成立，所以当时，单调递增，，与题意不符合；③当时，，，则，所以在上存在零点，设为在上的最小零点，则时，，因此在上单调递增，所以，不符合题意．综上所述，的最小值为．