(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第15讲《利用几何性质解决解析几何问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第15讲 利用几何性质解决解析几何问题1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点． （1）求椭圆的离心率；（2）若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证：点关于直线的对称点在直线上．【解析】解：（1）椭圆的，，，则；（2）时，椭圆方程为，，，设直线的方程为，令，可得，即，由为的中点，可得，又，可得直线的斜率为，由可得，即有，由，可得，即，，直线的斜率为，而直线的斜率为，设，可得，即，则点关于直线的对称点在直线上．2．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．【解析】解法一：由抛物线定义可得：，解得．抛物线的方程为；证明：点在抛物线上，，解得，不妨取，，直线的方程：，联立，化为，解得或，．又，．，，，轴平分，因此点到直线，的距离相等，以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．解法二：同解法一．证明：点在抛物线上，，解得，不妨取，，直线的方程：，联立，化为，解得或，．又，可得直线，的方程分别为：，，点到直线的距离，同理可得点到直线的距离．因此以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．3．已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．（1）若在直线上，求的半径；（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．【解析】解：（1）因为过点，，所以圆心在的垂直平分线上．由已知在直线上，且，关于坐标原点对称，所以在直线上，故可设．因为与直线相切，所以的半径为．由已知得，又，故可得，解得或．故的半径或．（2）存在定点，使得为定值．理由如下：设，由已知得的半径为，．由于，故可得，化简得的轨迹方程为．因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．因为，所以存在满足条件的定点．4．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当与垂直时，求的长；（Ⅲ）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点．【解析】解：（Ⅰ）因为，所以因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以，又，所以，所以椭圆方程为（Ⅱ）设，，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为，，（舍所以（Ⅲ）直线恒过定点设，，，，由题意，设直线的方程为，由得，显然，△，则，，因为直线与平行，所以，则的直线方程为，令，则，即，，直线的方程为，令，得因为，故，所以直线恒过定点．5．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）因为点与关于原点对称，所以点得坐标为．设点的坐标为化简得．故动点轨迹方程为（Ⅱ）解：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为，则．因为，所以所以即，解得因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为．6．如图，已知椭圆左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．（1）若，求椭圆的离心率；（2）若，求直线的斜率．【解析】解：（1）因为，所以，所以，则，所以椭圆的离心率为；（2）设直线的方程为，，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为，所以，所以或，则或（舍去），即，因为，，所以，所以直线的斜率为．7．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆交于点，与椭圆交于点．连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．已知．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点的坐标．【解析】解：（1）如图，，，，，则，，则，，，则椭圆方程为，取，得，则．又，，解得．椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，，，则，联立，得．解得或（舍．．即点的坐标为．8．如图，已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：为角的角平分线．【解析】（1）解：由抛物线定义可得：，解得．抛物线的方程为；（2）证明：点在抛物线上，，解得，不妨取，，，直线的方程：，联立，化为，解得或，，．又，，，，，轴平分，即为角的角平分线．