(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第12讲《解析几何通解研究》（2份打包，解析版+原卷版）

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第12讲 解析几何通解研究高考预测一：向量搭桥进行翻译 类型一：以夹角为锐角、直角、钝角为背景的向量翻译1．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．（Ⅰ）当抛物线过点时，求抛物线的方程；（Ⅱ）证明：是定值．   2．已知椭圆．（1）求椭圆的短轴长和离心率；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论．   3．如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于、两点．若直线绕点任意转动，值有，求的取值范围．    4．已知椭圆过点，、为其左、右焦点，且△的面积等于．（1）求椭圆的方程；（2）若、是直线上的两个动点，满足，问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．   5．已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由． 6．已知抛物线，过点的直线交与、两点，圆是以线段为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点在圆上；（Ⅱ）设圆过点，求直线与圆的方程．    类型二：以共线为背景的向量翻译7．已知、分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，．（1）求此椭圆的方程；（2）设、是这个椭圆上的两点，并且满足，当时，求直线的斜率的取值范围．     8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线交曲线于两个不同的点和，设，若，，求的取值范围．    高考预测二：以弦长、面积为背景的条件翻译9．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点．当的面积最大时，求直线的方程．   10．已知椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，，直线交轴于点（Ⅰ）当点为椭圆的上顶点，的面积为时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当，时，求的取值范围．       11．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，，，证明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值．     高考预测三：斜率为背景的条件翻译12．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值．    13．设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，已知点的坐标为．（Ⅰ）当与轴垂直时，求点、的坐标及的值；（Ⅱ）设为坐标原点，证明：．    14．在直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点．（1）当时，分别求抛物线在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．    15．已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于，两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 高考预测四：选用合适的方程形式或面积公式实现简化计算16．（1）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，，，两点，证明：；（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，，，两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明：直线经过原点．         17．设椭圆，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，椭圆交于、，左准线与轴交于，．当与轴垂直时，．（1）求椭圆的方程；（2）直线绕着旋转，与圆交于，两点，若，求△的面积的取值范围为椭圆的右焦点）．        高考预测五：利用计算的对称性避免重复计算18．已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1．（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作互相垂直的弦、，则弦必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：①过（1）中的抛物线的顶点任意作互相垂直的弦、，问：弦是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明．      19．设椭圆，其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设曲线的上、下顶点分别为、，点在曲线上，且异于点、，直线，与直线分别交于点，．（1）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（2）求线段长的最小值．      高考预测六：设而不求，整体代换20．已知平面内一动点在轴的上方，点到的距离与它到轴的距离的差等于1．（1）求动点轨迹的方程；（2）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4．①求直线的斜率；②设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．       21．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．（1）求抛物线的方程；（2）当点，为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值．