2020山西大学附中高一下学期5月月考试题数学含答案

山西大学附中2019～2020学年第二学期5月考试

高一年级数学试题评分细则

考查时间：90分钟               命题人：王亚力             审核人：高一数学组

一、选择题（3×12=36分）

二、填空题（4×4=16分）

13.   14.    15.     16. ②④

三.解答题（4×12=48分）

17.（本题满分12分）

已知，，．

(1) 若，求证：；

(2) 设，若，求，的值．

【解析】（1）＝，

＝

＝．

所以，，所以，．

（2），①2＋②2得：．

所以，＝，＝＋，

带入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，

所以，＋＝．所以，＝，＝．

18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，，.

（1）若点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；

（2）若，设，求函数的值域.

【答案】（1）；（2）

（1）根据题意：，，，

，故，，

故.

（2），故，故，.

，，故

.

，则，故.

19.（本题满分12分）

已知向量，向量与向量夹角为，且．

（1）求向量；

（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中

为的内角，且．求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

（1）设，由，可得，①

与向量夹角为，有，

，则，②

由①②解得或，即或；

（2）由与垂直知，，由 ，知，

若，则

，

，

，

.

20.（本题满分12分）

已知函数的最小正周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.

（1）求函数与的解析式；

（2）设函数，试判断在内的零点个数.

【答案】（1），；（2）见解析.

【详解】

（1）因为的周期为2，所以，

，又因为的图象的一个对称中心为，

所以，因为，所以，

所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

设，因为，所以，则，

设，，则，

①当或时，在内有唯一零点，

这时，函数在内有两个零点.

②当时，在内有两个不等零点，

这时，函数在内有四个零点.

③当时，，由，得或，

这时，函数在内有三个零点.

④当时，，由，得或（舍），

这时，函数在内有两个零点.

综上可得，当或时，在内有两个零点；

当时，在内有三个零点；

当时，在内有四个零点.