2020山西大学附中高二下学期5月月考试题数学（理）含答案

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山西大学附中2019—2020学年第二学期高二年级5月模块诊断数学试题答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。每题的四个选项中只有一个选项是正确的）1．【答案】C 2．【答案】B　 3．【答案】D 4．【答案】D　 5.【答案】D6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C10.【答案】A11．【答案】A 12. 【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，，构造函数，，所以函数是R上的减函数.根据题意：，因为所以，解之得，.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.【答案】14.【答案】215.【答案】16.【答案】分析：因为,故得不等式,即,由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为. 三、解答题:(本题共六个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知都是实数，求证：.【答案】证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， …………3分三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， …………5分∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.∴a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)(a＋b＋c)2； …………7分∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)， …………9分∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．∴原命题得证． …………10分18．（本题12分）在极坐标系中，已知曲线，过极点作射线与曲线交于点，在射线上取一点，使.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，若直线与（1）中的曲线相交于点（异于点），与曲线（为参数）相交于点，求的值.19. （本题12分）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.20．（本题12分）在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求.【答案】（Ⅰ），得到，因为则曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入，得到.又因为，则，所以解得：，或，则或.21．（本题12分）已知函数.(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)若，记为的从小到大的第个极值点，证明：．【答案】 (2)∵为的从小到大的第（）个极值点，又令，，则，，∴ ，，， ∴ ．22．（本题12分）已知函数．（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若， ，证明： .【答案】（2），则， ，欲证，即证在上单调递减，∵，令，则∴在上为减函数，而∴，则，∴在上单调递减，又，∴.