2020山西大学附中高一下学期5月月考试题数学含答案

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山西大学附中2019～2020学年第二学期5月考试高一年级数学试题评分细则考查时间：90分钟               命题人：王亚力             审核人：高一数学组一、选择题（3×12=36分）123456789101112ABADADBACDAD二、填空题（4×4=16分）13.   14.    15.     16. ②④三.解答题（4×12=48分）17.（本题满分12分） 已知，，．(1) 若，求证：；(2) 设，若，求，的值．【解析】（1）＝，＝＝．所以，，所以，．（2），①2＋②2得：．所以，＝，＝＋，带入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，所以，＋＝．所以，＝，＝．18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，，.（1）若点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；（2）若，设，求函数的值域. 【答案】（1）；（2）（1）根据题意：，，，，故，，故.（2），故，故，.，，故.，则，故. 19.（本题满分12分）已知向量，向量与向量夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且．求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.（1）设，由，可得，①与向量夹角为，有，，则，②由①②解得或，即或； （2）由与垂直知，，由 ，知，若，则 ，，，.20.（本题满分12分）已知函数的最小正周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）求函数与的解析式；（2）设函数，试判断在内的零点个数.【答案】（1），；（2）见解析.【详解】（1）因为的周期为2，所以，，又因为的图象的一个对称中心为，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，，设，因为，所以，则，设，，则，①当或时，在内有唯一零点，这时，函数在内有两个零点.②当时，在内有两个不等零点，这时，函数在内有四个零点.③当时，，由，得或，这时，函数在内有三个零点.④当时，，由，得或（舍），这时，函数在内有两个零点.综上可得，当或时，在内有两个零点；当时，在内有三个零点；当时，在内有四个零点.