2020焦作高一下学期学业质量测试（期末）数学试题含答案

焦作市普通高中2019-2020学年（下）高一年级学业质量测试

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．（    ）

A．  B．   C．   D．

3．若向量，，且，则（    ）

A．   B．3   C．6   D．12

4．某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（    ）

A．中位数  B．平均数  C．方差   D．极差

5．在正方形中，点，分别满足，，且，则（    ）

A．2   B．1   C．   D．

6．执行如图所示的程序框图，若输入的，的值分别为1，1，则输出的是（    ）

A．25   B．18   C．11   D．3

7．某位居民在银行换取了五张连号的人民币，编号的尾号分别为71，72，73，74，75，他随机抽取三张作为儿子的压岁钱，则这三张人民币的尾号相连的概率为（    ）

A．   B．   C．   D．

8．已知，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

9．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（    ）

A．3   B．   C．   D．

10．如图所示，已知圆和的半径都为2，且，若在圆或中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（    ）

A．  B．  C．  D．

11．已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，则（    ）

A．   B．   C．    D．

12．在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有（    ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题：本题共4小题．

13．某工厂第一车间有工人1200人，第二车间有工人900人，第三车间有工人1500人，现用分层抽样的方法从这三个车间中抽取一个容量为144的样本进行某项调查，则第二车间应抽取的工人数为______．

14．如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为，则该三棱锥的体积为______．

15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则______．

16．已知函数在（）时的最小值为，最大值为，若，则的取值范围为______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，若的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边绕原点顺时针旋转后与单位圆交于点，求点的坐标．

18．为了方便市民出行，某城市推出共享电动单车租赁服务，收费标准是：骑行时间不超过30分钟收费3元，超过30分钟的部分每30分钟收费2元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．甲、乙两人租用电动单车出行，由于城市区域限制，他们使用电动单车的时间都不超过2小时．

（Ⅰ）若甲骑行时间不超过30分钟的概率为，租车费用多于5元的概率为，求甲租车费用恰好为5元的概率；

（Ⅱ）若每人的骑行时间为2小时以内的任意时长的可能性相同，求甲、乙两人租车费用之和为10元的概率．

19．在平面直角坐标系中，直线：与：的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为1．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程．

20．鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现重量（单位：克）都在之间，这些鱼的重量按照，，，，分组得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求这200条鱼中，重量不小于700克的鱼的条数；

（Ⅱ）求鱼塘中所有鱼重量的平均数的估计值；

（Ⅲ）根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案，方案一：不论鱼的大小，统一定价为每100克10元；方案二：重量小于700克的鱼，每100克8元，重量在（克）之间的鱼，每100克12元，重量不小于800克的鱼，每100克10元．方案二需要付分拣费：每100条鱼50元请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案．

注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表．

21．某机构为了研究中学生的视力与体育活动的关系，随机调查了几名中学生，得到了他们每周体育活动的时间（单位：）和视力的一组数据：

（Ⅰ）根据以上数据，在下面的坐标系中画出散点图；

（Ⅱ）用最小二乘法求与之间的线性回归方程．

参考公式：，．

22．已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若关于的方程在上恰有2个根，求的取值范围．

焦作市普通高中2019-2020学年（下）高一年级学业质量测试

数学·答案

一、选择题：本题共12小题．

1．A  2．C  3．D  4．A  5．B  6．C

7．B  8．C  9．B  10．D  11．C  12．D

二、填空题：本题共4小题．

13．36   14．   15．1   16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【命题意图】本题考查任意角三角函数的定义．

【解析】（Ⅰ）∵，且，

∴，

∴．

（Ⅱ）由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为．

∵

，

，

∴点的坐标为．

18．【命题意图】本题考查概率的性质，古典概型的概率计算．

【解析】（Ⅰ）设“甲租车费用恰为5元”为事件，

则，

所以甲租车费用恰好为5元的概率是．

（Ⅱ）设甲租车费用为元，乙租车费用为元，其中．

则甲、乙两人的租车费用构成的样本点有，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况．

其中，，这3种情形符合条件．

故甲、乙两人租车费用之和为10元的概率．

19．【命题意图】本题考查圆与直线的方程．

【解析】（Ⅰ）联立方程组解得．

设圆的半径为，由题意知，所以，

故圆的标准方程为．

（Ⅱ）过点作圆的切线，切线的斜率必存在．

设切线方程为．

由题意，，

解得或．

故所求的切线方程为或．

20．【命题意图】本题考查频率分布直方图的应用以及用样本估计总体的思想．

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，重量不小于700克的鱼的条数为

．

（Ⅱ）鱼塘中所有鱼重量的平均数的估计值为

．

（Ⅲ）以这200条鱼的销售收入为参考．

若选方案一：

销售收入的估计值为．

若选方案二：

由题意，200条鱼中重量在各区间的条数依次为20，40，60，50，30．

销售收入减去分拣费的估计值为

．

因为，所以应该选方案二．

21．【命题意图】本题考查线性回归分析．

【解析】（Ⅰ）散点图如图所示：

（Ⅱ）由题意：，

．

，

，

所以，

．

所以与之间的线性回归方程为．

22．【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质．

【解析】（Ⅰ）

．

所以的最小正周期为．

令，得（）．

所以的单调递增区间为（）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以．

由，得或．

当时，．

当且仅当，即时，．

所以仅有一个根，因为，，

所以的取值范围是．