2020白城通榆县一中高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

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通榆一中2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理）考试时间：120分钟；注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知复数z=51-2i+i，则z的共轭复数为(   )．A. 1+3i B. 1-3i C. -1+3i D. -1-3i通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算得，K2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8．附表：参照附表，得到的正确结论是(    )A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”曲线y=lnx-2x在点(1,-2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是(    )A. 12 B. 34 C. 1 D. 2从2位女生，4位男生中选3人参加数学竞赛，且至少有1位女生人选，则不同的选法共有(  )A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种若随机变量X∼N3,σ2且PX≥5=0.2，则P12万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx；参考数据：i=15xiyi=286，i=1nxi2=190．已知函数f(x)=x4+ax-lnx-32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=t2+1t2-2y=2t-2t(t为参数)，曲线C2的参数方程为x=2+cosαy=sinα(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；(2)直线l的极坐极方程为θ=π6，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为34，B项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E(ξ)．已知函数f(x)=lnx+ax2-bx．(1)若函数y=f(x)在x=2处取得极值ln2-12，求a，b的值；(2)当a=-18时，函数g(x)=f(x)+bx+b在区间[1,3]上的最小值为1，求y=g(x)在该区间上的最大值．参考答案1.【答案】B【解析】解：由z=51-2i+i=5(1+2i)(1-2i)(1+2i)+i=1+3i，得z-=1-3i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查独立性检验的应用，考查对观测值表的认识，主要考查学生的运算能力，本题有所创新，只要看出观测值对应的意义，对照表格得到结论即可.属于基础题．【解答】解：根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选C．3.【答案】A【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．【解答】解：由题意得y'=1x-2，则在点M(1,-2)处的切线斜率k=-1，故切线方程为：y+2=-(x-1)，即y=-x-1，令x=0得，y=-1；令y=0得，x=-1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S=12×1×1=12，故选A．4.【答案】B【解析】【分析】先求出所有的方法数，再求出没有女生入选的方法数，相减可得至少有1位女生入选的方法数．本题主要考查排列组合的简单应用，属于中档题．【解答】解：从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，所有的方法有C63=20种，其中没有女生入选的方法有C43=4种，故至少有1位女生入选的方法有20-4=16种，故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正态曲线的相关知识点.根据随机变量，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布，∴对称轴是x=3，，∴P(10}，则f'(x)=2x-5+2×1x=2x2-5x+2x，令f'(x)=0，可得x1=12，x2=2，当x∈(12,2)时，f'(x)<0，∴函数f(x)在(12,2)是单调递减．故选：D．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数(二次函数)来分析．条件：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义．即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f'(x)=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可．【解答】解：由题意，函数f(x)=13x3+ax2+(2a+3)x-1，f'(x)=x2+2ax+2a+3，∵函数f(x)=13x3+ax2+(2a+3)x-1有两个极值点，∴方程f'(x)=0必有两个不等根，∴△>0，即4a2-8a-12>0，∴a<-1或a>3．故选B．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．对f(x)求导，根据函数fx=2aex-x2-2x在-∞,+∞上是单调函数可得f'x≥0或f'x≤0在恒成立，解不等式即可．【解答】解：∵函数f(x)=2aex-x2-2x在上是单调函数，∴f'x≥0或f'x≤0在恒成立，∵f'(x)=2aex-2x-2，∴a≥x+1ex或a≤x+1ex在恒成立，设gx=x+1ex，∴a≥gxmax或a≤gxmin，∴g'x=ex-x+1exex2=-xex，令g'x=ex-x+1exex2=-xex=0，∴x=0，当x<0时，g'x=-xex>0，当x>0时，g'x=-xex<0，∴x=0时，gx取最大值g0=0+1e0=1，没有最小值，∴a≥1．故选B．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于较综合的中档题．根据极值点与导函数零点的关系即可求解．【解答】解：函数f(x)定义域为R，f'(x)=x+(m+1)ex，因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，所以f'(x)=x+(m+1)ex有两个不同的变号零点，故关于x的方程-m-1=xex有两个不同的解，且在解的两边导数值f'(x)异号，令gx=xex，则g'x=1-xex，当x∈-∞,1时，g'(x)>0，当x∈1,+∞时，g'(x)<0，所以函数gx=xex在区间-∞,1上单调递增，在区间1,+∞上单调递减，又当x→-∞时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→0，且g1=1e，故0<-m-1<1e，所以-1-1e2的基本事件有：ω3,ω4，ω3,ω5，ω4,ω5，共3种，故所求概率为P=310．(2)∵x=6，y=9，5xy=270，则∧ =i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=286-270190-180=1.6，a=y-bx=9-1.6×6=-0.6，所以回归直线方程为y=1.6x-0.6，将x=10代入上述方程得y=15.4，即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．【解析】本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．19.【答案】解：(1)∵f(x)=x4+ax-lnx-32，∴f'(x)=14-ax2-1x，∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.∴f'(1)=14-a-1=-2，解得：a=54．(2)由(1)知：f(x)=x4+54x-lnx-32，f'(x)=14-54x2-1x=x2-4x-54x2(x>0)，令f'(x)=0，解得x=5，或x=-1(舍)，∵当x∈(0,5)时，f'(x)<0，当x∈(5,+∞)时，f'(x)>0，故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)；单调递减区间为(0,5)；当x=5时，函数取极小值-ln5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．(1)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x可得f'(1)=-2，可求出a的值；(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．20.【答案】解：(1)由x=t2+1t2-2y=2t-2t,可得y2=4(t2+1t2-2)，x=t2+1t2-2，消去t得y2=4x，由x=2+cos αy=sin α，得cos α=x-2sin α=y,两式平方相加得(x-2)2+y2=1，又ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，曲线C1的极坐标方程为(ρsin θ)2=4ρcosθ⇒ρ=4cos θsin2θ，曲线C2的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0，(2)设A(ρ1,π6)，B(ρ2,π6)，由(1)ρ1=4cos π6sin2π6=83，ρ22-23ρ2+3=(ρ2-3)2=0得ρ2=3，|AB|=|ρ1-ρ2|=|83-3|=73．【解析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用求出结果．21.【答案】解：(1)设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则M：A，B都不达标；故P(M)=1-P(M)=1-34⋅89=13，所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为13.；(2)依题意知ξ～B(4,23)，P(ξ=0)=(13)4=181，P(ξ=1)=C41(23)1(13)3=881，P(ξ=2)=C42(23)2(13)2=827，P(ξ=3)=C43(23)3(13)=3281，P(ξ=4)=(23)4=1681，ξ的概率分布为：E(ξ)=881+2×827+3×3281+4×1681=21681=83，故ξ的期望值为83．【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和相互独立事件同时发生的概率，是中档题．(1)设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则M：A，B都不达标；故P(M)=1-P(M)，即可得出结果；(2)依题意知ξ～B(4,23)，得出ξ的概率分布和数学期望即可．22.【答案】解：(1)f(x)=lnx+ax2-bx，f'(x)=1x+2ax-b，∵函数y=f(x)在x=2处取得极值ln2-12，∴f'(2)=0，即12+4a-b=0①，f(2)=ln2-12，∴ln2+4a-2b=ln2-12，∴4a-2b=-12②，由①②得，a=-18，b=0．(2)当a=-18时，f(x)=lnx-18x2-bx(x>0)，g(x)=f(x)+bx+b=lnx-18x2-bx+bx+b=lnx-18x2+b，∴g'(x)=1x-14x=4-x24x，∴x∈[1,2]时，g'(x)>0，g(x)单调递增，x∈[2,3]时，g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)max=g(2)=ln2-12+b，g(1)=-18+b，g(3)=ln3-98+b，又∵(-18+b)-(ln3-98+b)=1-ln3<0，∴g(x)min=g(1)=-18+b=1，∴b=98．∴g(x)max=ln2-12+98=ln2+58．【解析】(1)函数y=f(x)在x=2处取得极值ln2-12，得f'(2)=0，f(2)=ln2-12，就可解出a，b．(2)g(x)求导，进而得出在区间[1,3]上的单调性，求出最小值让它等于1，进而求出b的值，再求最大值．本题考查函数的极值，最值，单调性，属于中档题．男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828年份20152016201720182019投资金额x/万元4.05.06.07.08.0年利润增长量y/万元6.07.09.011． 012.0ξ01234P18188182732811681