2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末考试数学（理）试卷

2020届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期期末考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

1.  若集合，且，则集合可以是（    ）  

 A．     B．    C．     D．

2．命题“对任意的，”的否定是（    ）

 A．不存在，   B．存在，

 C．存在，     D．对任意的，

3. 已知，则的大小关系为（    ）

  A.    B.    C．    D.

4.的三内角的对边分别为,其中.为

的外接圆圆心,则(    )
  A.  B.        C.        D. 6

5．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是(    )

 A．   B．      C．   D． 

6.已知等差数列的公差不为，，且成等比数列，设的前项和为，则(    )

 A.     B.    C.   D. 

7.已知椭圆与圆，若椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率最小值为(    )

 A．      B．        C．      D． 

8． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，始边上一点P(1，－3)，则为（    ）

A.         B.         C.           D.

9.函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是（    ）

        A.          B.            C.            D.

10．已知是双曲线： 的右焦点，是上一点，且与 轴垂直，点的坐标是.则的面积为（    ）

A.           B.           C.              D.

11.定义在上的函数有零点,且值域,则的取值范围是(      )

A.          B.        C.       D.

12．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围(   )

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．若，且，则的最小值是__________

14．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为           .

15．设定义域为的函数满足则的解集为______．

16．抛物线焦点与双曲线一个焦点重

合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于

、，若的面积为4，则的长为　　　　  .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在中，角的对边分别为函数

，（1)求(2)求的值．

18. 等差数列的前n项和为，且．

(I)  求数列的通项公式；

(II)若数列满足，求的前n项和．

19． 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：

 （1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；

 （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列.

20.如图，三棱柱中，，，.

（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点，且的面积．

（1）求椭圆的标准方程；

 （2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于

两点，与椭圆交于两点，且，当取得最小值时，求直线的方程．

22．设函数（1）求函数的极值；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

（参考数值，）

（理科）参考答案与评分标准

二．填空题：13．  4  ;   14．  31 ;     15．     ;   16． 5

17.解:： 由,得,且,所以  -----4分
 因为,由正弦定理得      ----------6分
 又由余弦定理得：

 解得            ------------------10分

18．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，∵ ∴，

解得．∴             ……4分

（Ⅱ）∵，，当时，

当时，适合上式，所以        ……8分

．

.    …… 12分                    

19．解:（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有, 
 空气湿度指标为1的有,  空气湿度指标为2的有 在这10块青蒿人工种植地中任取两地,基本事件总数,  -----------2分
 这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数,  ---------4分

 所以这两地的空气温度的指标z相同的概率  --------5分
   （2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:

  其中长势等级是一级有,共6个, 
  长势等级不是一级的有,共4个, 
  随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5,      ---------6分
  ,               ,         , ,           ,     （注：每一个正确得1分）
  所以的分布列为:

19.（Ⅰ）证明：连接  为平行四边形，且 为菱形  ….…2分

又，平面

  ……4分

又平面  …6分

（Ⅱ）    

两两垂直……8分

以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，则，设

易知，，，则平面的一个法向量

设是平面的一个法向量

则 得……10分

，解得：

在棱上存在点，当时，得二面角的大小为.……12分

21.解：（1）由的面积可得： -① ---2分

 又椭圆C过点,  ---②       --------3分

 由①②解得，所以椭圆C标准方程为   -----4分

   （2）设直线l的方程为，则原点到直线l的距离

 所以      ------6分

 将代入椭圆方程，得

 由判别式，解得

 由直线直圆相交得，所以  ----8分

 设，则

 所以  

所以  因为，所以则当时，取得最小值，此时直线方程为  ----------12分

22.解：（1）的定义域为

令，解得；令，解得

当时，单调递增，当时，单调递减，

；无极小值     ---------------4分

（2），因为，所以（）恒成立

 设，则

 设则所以在上单调递增，

又以存在

使得，当时，；当时，

所以在上单调递减，上单调递增所以 又，所以

令则，所以在上单调递增

 所以，即

 因为，所以，所以的最大值为2   ------------12