2021吕梁高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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吕梁市2020—2021学年高二年级第一学期期末考试试题（理科）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．1．抛物线的准线方程是A． B． C． D．2．命题“若，则且”的逆命题是A．若，则且 B．若，则或C．若或，则 D．若且，则3．已知向量，若，则x的值为A．1 B． C． D．34．已知m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则5．已知命题，，则命题p的否定是A．， B．，C．， D．，6．已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为A． B． C． D．7．若直线与圆有两个公共点，则实数k的取值范围是A． B． C． D．8．已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为A． B．3 C． D．9．如图是一个圆锥和圆柱的组合体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D．10．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A．2 B． C． D．11．如图，在正三棱柱中，，，则点C到平面的距离为A． B． C． D．12．刘徽的《九章算术注》记载“斜解立方，有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，再沿堑堵的一顶点与其相对的面对角线剖开成两块，大的叫阳马（底面为长方形，且有一侧棱与底面垂直的四棱锥），小的叫鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体），若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，，平面ABC，则在和的边所在的直线中，与AP垂直的直线是_______________．14．已知直线，则下列结论正确的是________．①直线l的倾斜角是；②若直线，则；③点到直线l的距离是4；④过与直线l平行的直线方程是．15．已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若，则直线AB必过定点___________．16．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，，则椭圆C的离心率为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．（1）若，为真命题，求x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（本小题12分）已知方程，（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若m的值为（1）中能取到的最大正整数，则得到的圆设为圆C，过点作圆C的切线，求切线方程．19．（本小题12分）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）求证：平面；（2）连接，，求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，焦点为F，点是抛物线上一点，满足．（1）求抛物线C的方程；（2）过点作直线AB交C于A，B两点，若，求弦AB的长度．21．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD中，，，，，AE为梯形ABCD的高，将沿AE折到的位置，使得．（1）求证：平面ABCE；（2）求平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值． 22．（本小题12分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，对称中心为O，直线与椭圆C相交于，两点，设A，B两点对应的相关点分别为，，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．吕梁市2020-2021学年高二年级第一学期期末考试试题（理科）数学参考答案一、1-6 ADCDAA 7-12 DCABDA二、13．BC 14．①② 15． 16．三、17．解：（1）当时，由得，由，得由得，为真命题，命题p，q均为真命题，，解得，实数x的取值范围是．（2）由条件得不等式的解集为，是的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是．18．解：（1）方程，可化为，当方程表示圆时，有，即，所以m的取值范围是．（2）由题意，可得，方程，即为，得，此圆的圆心为，当切线斜率不存在时，利用图形可以得出，当切线斜率存在时，设过点的圆的切线方程为，即，圆心到直线的距离，，所以切线方程为．所以过点的切线方程为或．19．解：（1）证明：如图1连接，则O为中点，连接OM，M为的中点．所以在中，，又因为平面，平面，所以平面．（2）如图2方法一：在中，连接OB，因为，所以，又因为，，所以平面，平面，所以平面平面．因为平面平面，在平面中，过点作，交BO的延长线于G，所以⊥平面．则为直线与平面所成的角．设正方体的棱长为1，，，．在中，，用余弦定理得．所以，，所以直线与平面所成角的正弦值是．方法二、空间向量法（略）．20．解：（1）因为F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点，满足，而抛物线C的准线为，所以由抛物线定义得，解得，因此抛物线C的方程为．由（1）知：抛物线，焦点．因为过点作直线AB交C于A，B两点，所以直线AB的斜率不为0，因此设直线AB的方程为．设，．因为，因此，因此．由消去x，得，则，，，又因为，所以，，因此或，所以．21．（1）证明：折叠前，折叠后，折叠前由已知得，在中，，折叠后，，因为，所以可以计算得折叠后为直角三角形，即，,因为，平面ABCE，平面ABCE，所以平面ABCE．（2）由（1）知，又所以以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以平面PAE的法向量为，又，，，设平面PBC的一个法向量为则可求得平面PBC的一个法向量为计算得，所以平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值为．（说明：使用射影面积公式的得2分）22．解：（1）由题意知：，解得，所以椭圆的方程为．（2）设，，则，，，即，即，，，，代入，得，，点O到直线AB的距离为，．所以的面积为定值．