2021山西省山西名校高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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山西名校2020~2021学年度高二第一学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（ ）A． B． C． D．2．椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．3．三张卡片上分别写上字母A、M、N，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词的概率为（ ）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）A． B． C． D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．6 B．8 C．10 D．126．“”是“直线与直线互相平行”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）A．l与C可能相切或相交 B．l与C可能相离或相切C．l与C一定相交 D．l与C可能相交或相离8．已知直线与抛物线的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段的中点在x轴上，则p=（ ）A．2 B．4 C． D．9．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的单调递减区间是（ ）A．， B．，C．， D．，10．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（ ）A． B． C． D．11．点P在椭圆上，的右焦点为F，点Q在圆上，则的最小值为（ ）A． B． C． D．12．设双曲线的上顶点为A，直线与M交于B，C两点，过B，C分别作，的垂线交于点D．若D到点的距离不超过，则M的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线的焦点坐标为______．14．已知两个单位向量和的夹角为120°，则在方向上的投影为______．15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则______．16．已知在长方体中，，，，E是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知椭圆的离心率为e，长轴为，短轴为．（1）若W的一个焦点为，，求W的方程；（2）若，，求W的方程．18．（本小题满分12分）已知动点P到点（t为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点P的轨迹上．（1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值；（2）在（1）的条件下，已知直线l与轨迹C交于A，B两点，点是线段的中点，求直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，E为的中点，F为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求点E到平面的距离．20．（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，，且，平面．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）．（1）若，求直线l的方程；（2）求面积的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦距为2，其上、下顶点分别为A，B．直线与y轴交于点E．点P是椭圆上的动点（异于A，B），直线，分别与直线交于点M，N．连接，与椭圆C交于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设的面积为，的面积为，试判断是否为定值?并说明理由．山西名校2020~2021学年度高二第一学期期末考试·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．D 由题意知，，则．2．A 因为，，所以，故离心率．3．C 包括的基本事件为：，，，，，，故恰好排成英文单词的概率为．4．D由，得．5．C 这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱组成的组合体，所求几何体的体积6．C 若直线与直线互相平行，则，解得或，当时，两直线重合；当时，两直线平行．7．C 将l方程整理得，发现l恒过点，而点在圆C内部，所以l与C一定相交．8．B 线段的中点即为直线与x轴的交点，过N作垂直于准线于G因为的中点为F，所以，又，，所以，所以，故F即为C的焦点，故．9．B ，则，的图象关于点对称，所以，，解得，．因为，所以．，令，，得，．10．C 数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以．11．C 记的左焦点为，则，所以，因为，所以，而，所以的最小值为．12．D 记，由题意可知，，由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设，则，所以，所以，所以．因为，所以，即，，又，所以．13． 抛物线开口向上，．14． 因为，所以在方向上的投影．15．2 ，由正弦定理得，，则，所以．16． 以点A为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，令，得，，所以，．故与平面所成角的正弦值为．17．解：（1）由题意可知，且W的焦点在x轴上，所以，所以W的方程为为．（2）因为，，所以，故．当W的焦点在x轴上时，W的方程为；当W的焦点在y轴上时，W的方程为；18．解：（1）由题意知，动点P的轨迹为抛物线，设抛物线C的方程为，则，所以，所以抛物线C的方程为故（2）设点A，B的坐标分别为，，可得有，可得，有，可得直线l的斜率为故直线l的方程为，整理为．19．解：（1）证明：如图，取的中点G，连，为的中点，F为的中点，且为的中点，，，且四边行为平行四边形，，平面，平面，平面（2）由长方体的性质，平面平面，在中，由，，可得．在中，由，，可得设点E到平面的距离为d由，有，可得．故点E到平面的距离为．20．（1）证明：四边形为正方形，．，，．又平面，．，平面，．又，平面，平面，平面平面．（2）解：平面，平面．以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，则，．设平面的法向量为，则，令，则，，，．二面角为锐角，二面角的余弦值为．21．解：由直线l与圆C相交于两点，直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为（1）当时，为等边三角形，由圆C的半径为1，可知．圆心到直线l的距离为有，解得故直线l的方程为．（2）由圆心到直线l的距离为，可得设的面积为，有设，可得，有可得当时，，故面积的最大值为．22．解：（1）由题意可知，，，所以，，所以，即椭圆C的标准方程为；（2）设直线与y轴交于点，则，，所以，即判断t是否为定值，设，则，直线的方程，令，解得，即M坐标为，直线的方程为，令，解得，即N坐标为，直线的斜率，则直线的直线方程为，将直线的方程代入椭圆C的方程，消去y，整理得解得，因为，代入消去，整理得：，所以因为Q，T，M共线，所以，解得，即