2021吕梁高一下学期期末考试数学试题含答案

吕梁市2020—2021学年高一年级第二学期期末考试试题

数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.

1.复数的虚部是（    ）

A. B. C. D.

2.甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（    ）

A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.7

3.设，是两个不重合的平面，，是空间中两条不重合的直线，下列命题中不正确的是（    ）

A.，，则 B.，，则

C.，，则 D.，，则I//

4.圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（    ）

A. B. C. D.2

5.“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称.下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进37.5米到达点，此时看楼顶点的仰角为45°，则楼高约为（参考数据：）

A.45米 B.51米 C.62米 D.73米

6.已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（    ）

A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

7.如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，在中，是的中点，在线段上，且，与交于点.设，则（    ）

A.1 B. C. D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（    ）

A.2个小球都是黑色  B.2个小球恰有1个是红色

C.2个小球都不是红色  D.2个小球至多有1个是红色

10.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则使得角有两个解的的值可以是（    ）

A.3 B. C.5 D.7

11.如图，由，，，四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为，则（    ）

A.甲、乙系统都正常工作的概率为

B.甲系统正常工作的概率为

C.乙系统正常工作的概率为

D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率

12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，（靠近），且，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.存在点，使得，相交自明零

C.三棱锥的体积为定值用时

D.的最小值为

三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）

13.某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是______.

14.已知向量，，且向量与的夹角为，则等于______.

15.已知正三棱柱中中，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正切值为______.

16.如图，在中，，，是边上的点，且，，则等于______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知平面向量，且与共线.

（1）求的值；

（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值.

18.在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用.某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播.现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：

乙村播所得分数频数分布表

（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播?（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深人座谈的观众中至少有1人评分为的概率.

19.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，，，分别为和的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）证明：.

20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.

21.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面；

（3）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

22.在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，现有以下三个条件：

①；②；③.请从以上三个条件中选择一个完成下列求解.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求边的取值范围.

吕梁市2020-2021学年高一年级第二学期期末考试试题

数学参考答案

一、1—8     B     A     D     A     B     C     C     D

二、9-12     ABC     BC     BD     ACD

三、13、21  14、

15、  16、3

四、17、解：（1）由题意得：，，

因为与共线，

所以，

解得.

（2）由（1）可知，

于是，，

设向量与向量夹角为，

则.

18、解：（1）由甲村播所得分数频率分布直方图，得

由乙村播所得分数频数分布表，得

；

因为，

所以乙能被评为年度优秀村播

（2）因为乙能被评为年度优秀村播，200名观众中对乙评分为的观众有30名，

其中评分为有20名，评分为有10名.

用分层抽样从中抽取6人，则其中评分为的有名，

评分为的有名.

记评分为的4名观众为，，，，

评分为的2名观众为，，

从中随机选取2人，结果可以是：，，，，

，，，，，，，

，，，，共15种.

其中事件“至少有1人评分为”包括的结果有：

，，，，，，

，，共9种.

所以.

19、解：（1）因为为正方形，且，

所以.

为的中点，

所以，

则.

又，

所以，

所以为等腰直角三角形.

因为是的中点，

所以，

所以.

（2）连接.

因为，，，

所以平面.

又平面，

所以.

因为，

，

且这两个角都是锐角，

所以，

所以.

又，，

所以平面，

因为平面，

所以.

20、解：设“丈夫在科目二考试中第次通过”，

“妻子在科目二考试中第次通过”，

则，，

其中，2，3，4，5.

（1）设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，

事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，

事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”

则，

，

.

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为

（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，

事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，

事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”

则，

，

.

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.

21、解：（1）取中点，连接，.

因为是的中点，

所以，且，

因为，，

所以，且，

所以为平行四边形，.

又平面，平面，

所以平面.

（2）因为，，

所以.

因为平面平面，平面平面，

平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

又，，

所以平面.

（3）过作，交于点，

连接，则与平面所成角等于与平面所成角.

因为平面，

所以为直线与平面所成角.

在中，易得，

所以

在中，，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为时，的长为2.

22、解：（1）选择条件①：

因为，.

根据余弦定理得.

依据正弦定理得.

所以，

所以.

因为，

所以，

则，

因为，

所以.

选择条件②：

因为，

由正弦定理得.

因为，

所以.

则.

因为，

所以，即

因为，

所以.

选择条件③：

因为，

由正弦定理得.

因为，，

则.

因为，

所以，

则.

因为，

所以，

则，从而得.

（2）因为是锐角三角形，

所以

所以.

因为，

所以.

在中，依据正弦定理得，

则，

所以.

因为，

所以，

所以，

所以，

所以.