广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期期末考试+数学+Word版含答案

汕头市金山中学2020级高二第一学期期末考试

数学试卷

        命题人：郭荣斌                  审核人：黄庆珍

一、单项选择题：(每小题5分，共40分.)

1．抛物线的准线方程是（   ）

A.            B.            C.            D.

2．一个物体的运动方程为,其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒时的瞬时速度是（   ）

A  米/秒         B  米/秒        C  米/秒         D  米/秒

3. 设，则“”是“”的（   ）

A．充要条件                              B．充分不必要条件

C．必要不充分条件                        D．既不充分也不必要条件

4．如图,四棱锥的底面是矩形,设,,,E是PC的中点,则(    )

A.   B.

C.   D.

5．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若的中点为，则双曲线的渐近线方程为(    )

A. 　   B.      C.       D.

6. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（   ）

A.            B.             C.               D.

7．如右图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为(   )

A．     B．        C．          D．

8．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为(   )

A.[－，0]            B.[－，0]        C.[－，1]     D.[－，1]

二、多项选择题：(每小题5分，共20分.)

9．关于双曲线有下列四个说法，正确的是   

A. 以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为
B. 与椭圆有相同的焦点
C. 与双曲线有相同的渐近线
D. 过右焦点的弦长最小值为4

10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则   

A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为

11．设是抛物线上的两点，，O是坐标原点，下列结论成立的是   

A. 直线过定点               B. 到直线的距离不大于1

C. 线段中点的轨迹为抛物线        D.

12． 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点,下列说法中正确的有(   )

A. 双纽线关于轴对称                       B.       

C. 双纽线上满足的点有两个      D. 的最大值为

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．曲线在点处的切线方程为                 

14.已知直线与圆相交于两点，若，则                  

15．过点的直线与抛物线相交于两点，若在第一象限，且点为线段的中点，则直线的斜率为                  

 16．双曲线的左右焦点分别为，过作直线与双曲线有唯一交点，若，则该双曲线的离心率为                

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

  已知等差数列的公差为，前项和为，且满足                  （从①﹔②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．

（1）求﹔

（2）设，数列的前项和为，求证：

18．（本小题满分14分）

已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴,点在抛物线上，

且

    ⑴求抛物线的方程；

⑵过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，且线段的中点横坐标为4，求的面积.

19．（本小题满分14分）

如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，

，，，．

（1）求证：平面；

（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．

20.（本小题满分14分）

汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：

方案l：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.

方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形.

记三角形的面积为，四边形.请分别计算的最大值，并比较哪个方案好.

  21．（本小题满分16分）

    平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.
（1）求椭圆的方程；

（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点A，B,线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于轴的直线交于点M.

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

2020级高二第一学期期末考试数学参考答案

13．；     14. ；     15．；     16．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）①由，得，即；

②由，，成等比数列，得，，即﹔

③由，得，即；        （每个条件转化得2分）

选择①②、①③、②③条件组合，均得            ………………5分

故                               ………………6分

（2）                             ………………7分

                                     ………………9分

                                      ………………11分

                                               ………………12分

18.解:（1）依题意设抛物线的方程为     ……………1分

      则准线方程为              

       由 ，依定义得                 ……………3分

        解得

抛物线的方程为                     ……………5分 

（2）设直线的方程为：，     ……………6分

   由消得                 ……………7分

则                           ……………8分

线段的中点横坐标为4            ……………9分

即        即   ………10分

可得                                  …………11分

        …………13分

故的面积为=      …………14分

19．解：（1）因为四边形为矩形，

所以.

因为平面，平面，

所以平面．……………………………………………………2分

同理平面．………………………………………………………3分

又因为，所以平面平面．……………………4分

因为平面，所以平面．…………………………5分

（2）因为，

所以是二面角的平面角，即．………6分

因为，所以平面.

因为平面,

所以平面平面.

作于点，则平面.                 ……………8分

由, 得，．

以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

，……9分

设，，

则，       

设平面的法向量为，

则由得，取

得平面的一个法向量为，……………………………11分

又平面的一个法向量为，

所以，…………………………12分

所以，

解得或（舍去），………………………………………13分

此时，得.

即所求线段上的点满足．………………………………14分

20.（本小题满分14分）

解：方案：设，

在中，由余弦定理得：┄┄1分

即┄┄┄2分

（当且仅当时等号成立）┄3分

（当且仅当时等号成立）┄┄4分

最大值为                 ┄┄┄5分

方案： 在中，由正弦定理得：

即                       ┄┄┄6分

                         ┄┄┄7分

（当且仅当时等号成立）              ┄┄┄12分

最大值为                     ┄┄┄13分

方案好                     ┄┄┄14分

 21．（本小题满分16分）