2021浙江省东阳中学高三暑期第三次检测数学试题含答案

东阳中学2021届高三暑期第三次检测

数学

            班级____________姓名___________学号_________

一、选择题（本大题共10小题，共50分）

1.已知集合，，则   

A.  B.  C.  D.

2.复数，，则(     )

A.  B. 5 C.  D. 25

3.“”是“”的   

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，现有如下命题：

若，，；则；，，，则

若，，，则；若，，，则，

则正确命题的个数为(     )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5.已知数列的前n项和，则  

A.  B.  C.  D.

6. 有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为

A.  B.              C.  D.

7.已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为  

A.  B.  C.  D.

8. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为  

A. 530 B. 502 C. 503 D. 505

9.已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（    ）

A.              B.          C.             D.

10.已知函数与，若与的图像恰有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（    ）

二、填空题（本大题共7小题，共70分）

11.若展开式的二项式系数之和为64，则          ，二项展开式中的常数项为          ．

12.已知动直线l：若直线l与直线平行，则m的值为________；若动直线l被圆所截，则截得的弦长最短为________．

13.过点作圆的切线l，已知A，B分别为切点，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB方程为____________；椭圆的标准方程是________________

14.已知随机变量X的分布列如下表：

其中且，则           ，          ．

15.若某几何体的三视图单位：如图所示，则该几何体最长的棱长是_____，体积等于__________．

16.在中，角所对的边分别为。若，则________；若，,则的周长的最小值为_________。

17. 已知平面向量满足，,,则的取值范围是_________________;已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是__________．

三、解答题（每题15分，共30分）
18.已知正项数列满足，其中为的前项和。

（1）求的通项公式；

（2）已知数列，求数列的前项和，并求出满足对恒成立时，实数的取值范围。

19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点M的圆与直线相切于N，且满足．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
 

               高三数学暑期检测三参考答案

一、选择题

1-5.DAACA       6-10.BDBBC

二、填空题

11.6，20                         12.-1，

13.         14.

15.                        16.1，6

17.

三、解答题

18.（1）    (2),

19.  解： 由已知得，，
又，即，得，又，
求得，椭圆C方程为，
设，，设的内切圆半径为r，的周长为，所以，根据题意，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为，由得，
，，
由韦达定理得，，
所以，
令，则，所以，
令，则当时，，
在单调递增，，即，
即当，，直线l的方程为时，的最大值为3，此时内切圆半径最大，内切圆面积有最大值．
 

答案和解析

1.【答案】D
解：由可得：，
可得：，
所以．
故选D．
2.【答案】A
解：方法一：．
方法二：．
故选A．
3.【答案】A
解：”，取，反之则不成立；
故“”是“”的 充分不必要条件；，
故选A．
4.【答案】C
解：中，，可能相交；正确；中，m，n可能异面，正确，
故选C．
5.【答案】A
 

【解析】
解：当时，
则
且，即，所以．
两式作差得，
即，即，
所以，即．
则．
故选A．
6. 【解答】
解：4个人乘10节车厢的火车，有种方法，

没有两人在一车厢中有种，

至少有两人在同一车厢概率为：

．

选．

7.【答案】D

解：由双曲线定义知，又，
故
由双曲线定义知，得，
在中，，
由余弦定理得即，
，
当且仅当即时取等号．
故选D．

8.解：由题意，两位数有个，三位数有个，，九位数有个，
则所有“上升”的正整数的个数为
，
故选B．
9.B          10.C
11.【答案】6；20
解：由二项式系数之和为64，得，故，
所以二项展开式的通项，
令，得，则二项展开式中的常数项为．

12.【答案】 ；
解：当时，显然不符合题意，
当时，由两直线平行，得，解得或，

当时，两直线重合，不符合，所以．

由得，圆心为，半径，

则圆心到直线l的距离，

截得的弦长为，
当且仅当时，取等号．

故截得的弦长最短为．

13.【答案】，
当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标
当直线l斜率存在时，设l方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即l：直线l方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A、B两点坐标可以得到直线AB方程为，或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为
依题意，AB与x轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．
故答案为：，．
14.【答案】  ，24
解：由题意可得，解得
故D，
故D．
故答案为  ，24．
15.【答案】  ；20
 

【解析】解：由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥，
其中，最长的棱长是，
体积．

故答案为：．；．
16.1 ，6

17.

解：因为是单位向量，且，

以O为原点，建立直角坐标系：

则，

设，则，

因为，即，

化简得，，

所以表示线段上的点到点的距离，

所以，，

故答案为．

18. （1）    (2),
19.【答案】 解：由已知椭圆C方程为，设椭圆右焦点，
由到直线的距离等于，
得，，
又，即，得，又，
求得，椭圆C方程为，
设，，设的内切圆半径为r，的周长为，所以，根据题意，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为，由得，
，，
由韦达定理得，，
所以，
令，则，所以，
令，则当时，，
在单调递增，
，即，
即当，，直线l的方程为时，的最大值为3，此时内切圆半径最大，
内切圆面积有最大值．