浙江省东阳中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

www.ks5u.com东阳中学2020年下学期期中考试卷

（高二数学）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1．如图所示的组合体，其结构特征是（　　 ）

A．由两个圆锥组合成的     B．由两个圆柱组合成的 

C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 

D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

2．设命题：所有矩形都是平行四边形，则（　　 ）

A．所有矩形都不是平行四边形  B．有的平行四边形不是矩形 

C．有的矩形不是平行四边形      D．不是矩形的四边形不是平行四边形

3．设，则是成立的（　　 ）

A．充分不必要条件             B．必要不充分条件 

C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件  

4．已知双曲线与椭圆有相同焦点，则＝（　　 ）

A．1 B．3              C．4            D．5

5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　 ）

A．若 ∥，∥，则 ∥，

B．若 ∥，⊂，⊂，则 ∥ 

C．若 ⊥，⊥，则 ∥ 

D．若 ⊥，∥，∥，则 ⊥

6. 如图，在直棱柱中,,

为的中点,为的中点, 则异面直线与所成角的正切值为（　　 ）

A.             B.               C.           D.

7. 圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（　　 ）

A．1 B． C．2 D．

8．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（　　 ）

A．1 B．2 C．  D．4

9．椭圆的焦点，长轴长为，在椭圆上存在点，使，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（　　 ）

A． B． C．     D．

10．已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若∥面，

则线段的长度范围是（　　 ）

A． B． 

C． D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11．命题“若a＞b，则的逆否命题是　                       　，

且命题是            （真、假）命题．

12．双曲线的离心率为     　，渐近线方程为               ．

13. 在空间四边形中，若,点分别为线段的中点，则       　， 的坐标为                 ．

14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是全等的等腰三角形，则该几何体的体积是　        　，该几何体的外接球的表面积是　          　．

15．正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为             ．

16．一个三棱锥的6条棱中有5条棱长是1，一条棱长是x，则该三棱锥的体积最大值是　       　．

17．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A、B两点，当的周长最大时，的面积为　      　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18．已知椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，

求的值．

19．如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，，点D是BC的中点．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角,

（是指不超过90°的角）的余弦值．

20．已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.

21．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°．

（1）求证：；

（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值．

22．如图,为椭圆的下顶点,过点的直线交抛物线于两点,是的中点.

(1) 求证:点的纵坐标是定值;

(2)过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时,的面积最大？并求面积的最大值.

   东阳中学2020年下学期期中考试答案（高二数学）

一．选择题（共10小题）

1．D． 2．C   3．A    4．A    5．D． 6．C　 7．B   8．B    9.  A   10．D

[难题解析]

8．解：抛物线的准线方程为x＝﹣1．

设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|＝|PF|．

∴＝sin∠PAQ．

∴当PA与抛物线y2＝4x相切时，∠PAQ最小，即取得最小值．

设过A点的直线y＝kx+k与抛物线相切（k≠0），代入抛物线方程得

k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，

∴△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1．

即x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2．

∴P（1，2）或P（1，﹣2）．

∴|PF|＝2．

故选：B．

9．A解：要使在椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，设∠F1PF2＝2α，

只需最大的角大于等于90°即可，当P坐标为（0，b）或（0，﹣b）时，角最大，

当α＝45°，此时sinα＝，故.

∵在圆C上存在两点M，N，在直线y＝a上存在一点Q，使得∠MQN＝90°，

即在直线y＝a上存在一点Q，使得Q到圆的圆心（0，1）的距离等于a﹣1＝2，

∴只需（0，1）到直线y＝a的距离小于或等于2，即a﹣1≤2，所以a≤3，

即，综上，故，故选：A．

10．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，

∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，

∴AM∥A1E，MN∥EF，

∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，

∴平面AMN∥平面A1EF，

∵动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，

∴点P的轨迹是线段EF，

∵A1E＝A1F＝，EF＝，

∴A1O⊥EF，

∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值为

A1O＝，

当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1E＝A1F＝．

∴PA1的长度范围为．

故选：D．

二．填空题（共7小题）

11．若，则 ；真    12． ， ．

13． ；             14． ;

15．         16．           17．

[难题解析]

17:解：如图所示，设椭圆的右焦点为F′．

则当△FAB的周长＝|AF|+|BF|+|AB|＝2a﹣|AF′|+2a﹣|BF′|+|AB|＝8+|AB|﹣（|AF′|+|BF′|）≤8+|AB|﹣|AB|＝8．

当且仅当直线AB经过椭圆的右焦点F′时取等号．

此时直线AB的斜率k＝1．

∴直线AB的方程为：y＝x﹣1．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为：7y2+6y﹣9＝0，

∴y1+y2＝，y1y2＝，

∴|y1﹣y2|＝．

∴，△FAB的面积＝×|FF′|×|y1﹣y2|＝．

故答案为：．

三．解答题

18 解：（1）由题意，

得：则椭圆的方程为-------------------------------5分

（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），

由，消去y得，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

△＝24﹣8m2＞0，∴．

∴x0＝＝，------------------------------9分

y0＝x0+m＝．

∵点M（x0，y0）在圆x2+y2＝1上，

∴m2+m2＝1，

∴m＝．检验满足△＞0成立．

故m的值为． --------------------------------------------14分

19． 解：（1）关键在于证明AD⊥平面BB1C1C----------------------------------------------6分

（2）是平面ABA1的一个法向量，

设平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），

设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，

∴cosθ＝|cos＜，＞|＝，

∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．-------------------------------15分

20．解：（1）        -----------------------------------------------6分

（2）证明：设直线l的方程为x＝my+n，

代入抛物线方程化简得y2﹣4my﹣4n＝0，

∴．                   ---------------------------------------------10分

∵，解得n＝

∴直线l经过定点，且定点为（2，0）．---------------------------------------------15分

21． 解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

从而OA1⊥BD，OC⊥BD，

又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，

因为A1C⊂平面A1OC，

所以BD⊥A1C， ………………………（7分）

（2）由（1）可知，∠A1OC即

为二面角A1﹣BD﹣C的平面角，所以∠A1OC＝60°．

以O为坐标原点，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

B（4，0，0），D（﹣4，0，0），C（0，4，0），A1（0，2，6），E（0，3，3）．

所以＝（﹣4，3，3），＝（4，2，6）,=(4，4，0）．

设平面A1DC的法向量为＝（﹣，1,）

设直线BE与平面A1DC所成角为θ，

则．

所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．…（15分）

22． (1)证明:易知A(0,-1),不妨设,则,代入抛物线方程得t2=4p,∴   故点C的纵坐标为定值. ------------------6分

法二：用韦达完成.

(2)∵点C是AB的中点,∴S△BMN=S△AMN.

设直线l的斜率为k, 直线l'的斜率为k',则    则

∴直线l'的方程为即,不妨记,则:y=mx+2, ---------8分

代入椭圆方程并整理得(2m2+1)x2+8mx+6=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

       ------------------------------------10分

点A到直线l'的距离,

所以S△AMN==      ------------------------------12分

当且仅当时取等号,解得,所以,从而

,故当时,△BMN的面积最大.                   ------------------------------15分