2024届江苏省镇江中学高三上学期暑期学情检测数学试题含答案

2024届江苏省镇江中学高三上学期暑期学情检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，分别求出集合和集合，进而求出.

【详解】集合，，

又，，

.

故选：A.

2．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】解：因为，，所以,故充分;

当，，时，满足，

但不满足.故不必要，

故选：A.

3．某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据

已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出样本中心点，代入选项中的方程检验即可求解.

【详解】线性回归方程必过样本中心点，由题意得，，结合选项可知，

，即y与x的线性回归方程是.

故选：B.

4．2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率的定义计算．

【详解】由已知，，

所以．

故选：D．

5．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（    ）

A．4种 B．8种 C．12种 D．48种

【答案】B

【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.

【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，

根据分步乘法原理得，有种不同的排法.

故选：B

6．如图所示，已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，则这个三棱台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据线面垂直的性质定理，再利用棱台的侧面面积公式，结合梯形的面积公式即可求解.

【详解】因为平面，平面，

所以,

又，

所以，

在梯形中，易知，，

所以,

所以这个三棱台的侧面积为.

故选：A.

7．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可

【详解】 ，

其中 为中点，有 ，故可知 ，

则知 为 的中点，故点 满足 ， ．

故选：A

8．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为1

C．的最小值为 D．的最小值为3

【答案】C

【分析】根据已知条件结合均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.

【详解】.

对于A，，

当且仅当时取等号，故错误；

对于，当时，，故错误；

对于，

，

当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于D，

，

当且仅当，即时，等号成立，

这与已知不符合，故等号不成立，故错误.

故选：C.

二、多选题

9．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ）

A．服从超几何分布 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义、性质以及超几何额期望公式分析即可.

【详解】由题意知，随机变量服从超几何分布，故A选项正确，

的取值可能为：，

所以，故B选项正确，

又，，

，，

所以，

的取值可能为：，

由题意得，所以，

所以，

，

，

所以，

所以，故C选项错误，

若，则，

故D选项正确，

故选：ABD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．精确到0.1的近似数为1.6

C．被8整除的余数为1

D．

【答案】ABD

【分析】对于A，令，则，令，，从而可判断A；对于B，，对于C，，都利用二项式定理进行化简判断；对于D，，可判断.

【详解】对于A，，

令，则，为负数，为正数，

令，，

故，故A正确；

对于B，

,

故精确到0.1的近似数为1.6，B正确；

对于C，，

由此可得被8整除的余数为，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD

11．已知，则以下结论正确的有（    ）

A．，有零点

B．，在上单调递增

C．时，

D．时，的解集为

【答案】ACD

【分析】对A，将题意转换为有解，数形结合分析即可；

对B，求导后分析可得当，即可判断；

对C，求导分析函数的单调性与最小值判断即可；

对D，求导分析可得为减函数，再结合定义域求解不等式即可

【详解】对A，当时，即有解，又与的图象明显有交点，故A选项正确；

对B，，时，，，单调递减，故B选项错；

对C，时，，时，递减，时，递增，，故C选项正确；

对D，时，，单调递减，等价于，等价于，又，解得，故D选项正确．

故选：ACD．

12．已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．无论点在上怎么运动，都有

B．当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为

C．若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为

D．周长的最小值

【答案】ABD

【分析】由题知两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，进而利用判断A；根据向量求解线面角得是的中点时直线与平面所成的角最大，进而求解几何体的外接球判断B；根据内切圆的半径为判断C；根据是的中点时求解判断D.

【详解】解：因为直三棱柱中，平面，

因为平面，所以，

因为

所以，两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

因为是的中点，为的中点，点是上的动点

则，，，，，，，

对于A选项，，，故，，A正确；

对于B选项，由题已知平面的法向量为，，

设直线与平面所成的角为，

所以，，当且仅当时等号成立，

此时是的中点，，

此时中点到点的距离均为，故三棱锥的外接球心为，半径为，

所以，三棱锥的外接球表面积为，故B正确；

对于C选项，三棱柱，内放有一球，当球的体积最大时，为该三棱柱的内切球，由于内切圆的半径为，故三棱柱内切球的半径为，其体积不等于，故C错误；

对于D，当是的中点时，此时，，

此时，即，

所以当是的中点时，，即取得最小值，分别为

因为

所以，周长的最小值，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．命题“，使得”的否定是      .

【答案】，使得

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，使得”的否定是：“，使得”.

故答案为：，使得.

14．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们共有多少种不同的安排方法   

【答案】14

【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果．

【详解】根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：

①丁扶贫点最先去，有种安排方法；

②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，

综合①②知共有种安排方法．

故答案为：14．

15．如图，将边长的正方形沿对角线BD折起，连接AC，构成一四面体，使得，则点到平面的距离为             ．

【答案】/

【分析】设点到平面的距离为，则，求可得结论.

【详解】由已知可得，，，

取的中点，连接，

因为，，所以，

因为，，所以，

又，所以，

因为，点为的中点，

所以，由平面，，

所以平面，

所以点到平面的距离为，又的面积为，

所以三棱锥的体积为，

设点到平面的距离为，则，

又，

因为，所以的面积为，

所以，

所以.

所以点到平面的距离为.

故答案为：.

16．已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】整理可得，因为存在使不等式恒成立，则只需，整理可得，设，利用导数判断的单调性和最值，分析即可得答案.

【详解】时，不等式可化为，

因为存在使不等式恒成立，

所以只需，

设，，

则，，

所以在上为增函数，

所以，所以，，

所以整理可得，

设，

所以，令，

则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，则在上单调递增，

所以，

所以，即实数的取值范围是

【点睛】解题的关键是熟练掌握存在性问题与恒成立问题的处理思路，将题干条件转化为，并利用导数求解，难点在于需二次求导，判断导函数的单调性和最值，进而求解原函数的单调性和最值，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

四、解答题

17．已知不等式的解集为，不等式的解集为．

(1)若，不等式的解集为，求不等式的解集；

(2)，，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出，然后求出，然后可得答案；

（2）分类讨论，和，后者结合二次函数性质可解．

【详解】（1），当＝1时，，

∴，

因为不等式的解集为，

所以－1，2是方程的两个根，

，解得m＝－1，n＝－2，

∴ ，∴ ，∴；

（2）当a＝0时，－6＜0恒成立，符合题意；

当时，，得，得－24＜a＜0；

综上，a的取值范围是.

18．在二项式的展开式中，

(1)若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项；

(2)若展开式中第2项与第4项的系数之比是，求展开式中的有理项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由所有二项式系数之和为， ，根据中间项的二项式系数最大可得结果；

（2）由展开式中第2项与第4项的系数之比是得出,展开通项，有理项即，求出r代入即可.

【详解】（1）由已知得， ，，

展开式中二项式系数最大的项是.

（2），则，∴，

则，

令，得,

可得项为,故有理项为.

19．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．

(1)请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关

附

参考公式：，其中．

(2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于分为达标，超过的学生达标则认为达标效果显著已知这名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著

附：若∽，则，，．

【答案】(1)表格见解析，认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关

(2)该校增加锻炼时长后达标效果显著

【分析】（１）根据位学生中回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且男生人数是女生人数的可得男女生回答“满意”的人数，再根据回答“不满意”的人中，女生人数占补全列联表，再计算卡方判断即可；

（２）根据正态分布，可得，，再根据所给数据结合正态分布的对称性，计算判断即可

【详解】（1）由题意，回答“满意”的人数有人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人中，女生人数，故补充列联表如图：

则，

故认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于

（2）因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，

所以

．故该校增加锻炼时长后达标效果显著．

20．某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为，两辆车的车牌尾号为，车的车牌尾号为，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车，已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.  该公司所在地区汽车限行规定如下：

（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；

（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为，结合对立事件的概率，即可求解；

（2）根据题意得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，接口求解.

【详解】（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车，可得

所以

即该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为

（2）由题意，随机变量的可能取值为，

则；

；

；

；

，

所以随机变量的分布列为：

所以数学期望为.

21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且．

(1)证明：；

(2)求直线和平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．

【答案】(1)见详解

(2)

(3)存在，

【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直；

（2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，进而求得结果；也可以利用向量求出直线的方向与平面的法向量来解决；

（3）探索性的题目，线段比值往往设为向量关系，借助向量表示点.二面角则分别求出两个平面的法向量，用法向量表示出已知条件，解决问题.

【详解】（1）证明：∵，为的中点  ∴

又∵平面平面，平面平面，平面

∴平面

∵平面     ∴

（2）

解法1：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，

∵为的中点，是边长为1的等边三角形

∴是直角三角形，，，

∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，

由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形

∵，∴，

以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

∴，，

设是平面的一个法向量，

则，即

令，则，，，

∴直线和平面所成角的正弦值等于

解法2：由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形

∵

∴，，

在中，，，

∴，

设d是底面ABC的高

则，

∴直线和平面所成角的正弦值为.

（3）在棱上存在点，使二面角的大小为.

设

由（2）知，，

，

是平面的一个法向量

设是平面的一个法向量，则

即

取，，

∵二面角的大小为

∴

即

整理得，    解得，或（舍去）

所以，，

所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，.

22．已知函数.

(1)当时，判断的单调性；

(2)当时，记的零点为的极小值点为，判断与的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减.

(2)，理由见解析

【分析】（1）对求导，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）先求出的单调性，利用零点存在定理确定的所在区间，再利用导数与函数极值点的关系，结合零点存在定理确定的所在区间，同时得到关于的表达式，从而求得，由此利用的单调性即可得解.

【详解】（1）当时，，的定义域为，

所以，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，则，

当时，则，故在上单调递增，

又，

所以存在唯一的，使，

因为，则，

令，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

又，

所以存在，使，

则当时，；当时，；

所以在单调递减，在上单调递增，

所以为的极小值点，故，

由可得，故，

所以，

又，所以，

又因为，且在上单调递增，

所以.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．