2024届江西省泰和中学高三7月暑期质量检测数学试题含答案

2024届江西省泰和中学高三7月暑期质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的补集、交集运算即可.

【详解】因为集合，，，

所以，所以.

故选：C.

2．已知事件A，B满足，，，则的值是（    ）

A．0.7 B．0.42 C．0.5 D．0.6

【答案】D

【分析】由条件概率的计算公式，代入计算即可.

【详解】.

故选：D.

3．设等比数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.

【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，

所以．

故选：C．

4．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ）

A．2 B．0 C．1 D．-1

【答案】D

【分析】利用函数的周期性求解.

【详解】由得，所以，

所以函数的周期为，所以，

因为，所以，

故选：D.

5．已知，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用换元法即可得解.

【详解】令，则，

又，所以，则，

故选：C.

6．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】B

【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，

即可解出.

【详解】由指数函数的图象可知：.

令，解得，

则，

对应只有B选项符合题意.

故选：B

7．若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.

【详解】，

由导数的几何意义可知，.

故选：A

8．已知函数，其中，若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数（），使得成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】根据题意确定在 附近的左右两侧函数值相等，再根据方程有解得结果.

【详解】由于函数其中 ，

则 时，

又由对任意的非零实数，存在唯一的非零实数（），使得成立，∴函数必须为连续函数，即在 附近的左右两侧函数值相等，

即 有实数解，

所以 解得 或

故选：C．

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据初等函数导数表可知A正确；易知，利用对数和幂函数公式可得B正确；利用求导的除法法则可得，所以C错误；利用复合函数及导数乘法运算法则可得D正确.

【详解】对于A，根据导数公式表可知，即A正确；

对于B，易知，所以B正确；

对于C，利用求导的除法法则可知，即C错误；

对于D，利用复合函数求导及乘法运算法则得

，

所以D正确；

故选：ABD

10．已知函数关于函数的结论正确的是（    ）

A．的定义域为R B．的值域为

C．若，则x的值是 D．的解集为

【答案】BC

【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.

【详解】函数的定义域是，故A错误；

当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；

当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；

当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．

故选：BC．

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．已知，则数列是递减数列

B．数列的通项，若为单调递增数列，则

C．已知正项等比数列，则有

D．已知等差数列的前项和为，则

【答案】ABD

【分析】由，可判定A；恒成立，可判定B；根据，，得到，可判定C；由构成等差数列，列出方程求得，可判定D.

【详解】对于A中，由，可得，所以数列是递减数列，所以正确；

对于B中，若数列的通项，

则恒成立，

所以，所以B正确；

对于C中，正项递增的等比数列，

若，可得，

此时，所以C不正确；

对于D中，等差数列的前项和为且，

根据构成等差数列，即构成等差数列，

可得，解得，所以D正确.

故选：ABD.

12．已知a，b为正实数，且，则（   ）

A．ab的最大值为8 B．的最小值为8

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

三、填空题

13．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么               .

【答案】

【分析】根据概率之和为1即可求解.

【详解】由题意可知，解得.

故答案为：.

14．函数的最小值为        .

【答案】1

【分析】先求定义域,然后根据两个增函数的和仍为增函数可得函数的单调性,再根据单调性求得最小值.

【详解】由函数有意义可得,所以,

所以函数的定义域为,

因为函数和在定义域内均为增函数，

所以函数在内为增函数，

所以当时,.

故答案为:1

【点睛】本题考查了函数单调性的判断,利用单调性求函数的最小值,属于基础题.

15．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则          .

【答案】

【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法可求得的值.

【详解】因为数列是正奇数列，

对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；

当为偶数时，设，则为奇数，

所以，，则，

因此，.

故答案为：.

16．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是             ．

【答案】

【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.

【详解】解：当时，，所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数增长更快，

从而，

当时，，所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，

从而

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，

得或，由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．

故答案为：

四、解答题

17．某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：

(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立关于的回归方程.

参考数据和参考公式：相关系数，，，

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据表格数据可分别计算出与的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知与相关程度较高；

（2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程.

【详解】（1）由题意得，，

，

，

因此相关系数.

即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系；

（2）由（1）中数据，得，，

所以关于的回归方程为.

18．已知等差数列的前项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有．

【答案】(1)

(2)或10或11．

【分析】（1）利用基本量法可求首项与公差，故可求通项.

（2）求出及其最小值，故可得关于的不等式，据此可求所有的正整数.

【详解】（1）设的公差为，则，解得，

故．

（2）由（1）可知，．

当时，取得最小值-100．

由恒成立，得，解得．

因为，所以或10或11．

19．已知函数（）.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值.

(2)的取值范围是.

【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；

（2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，  

求导得，

整理得：.

令可得，或（舍去）

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取极小值，极小值为，

函数无极大值；

（2）由已知时，恒成立，

所以恒成立，

即恒成立，则.

令函数，

由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，

所以的取值范围是.

20．记，为数列的前n项和，已知，．

(1)求，并证明是等差数列；

(2)求．

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；

（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.

【详解】（1）解：已知，

当时，，；当时，，，所以．

因为①，所以②．

②－①得，，整理得，，

所以（常数），，

所以是首项为6，公差为4的等差数列．

（2）解：由（1）知，，，．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上所述，.

21．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．

(1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；

(2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．

【答案】(1)

(2)甲获胜的可能性更大，理由见解析

【分析】（1）分析可知第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，对甲、乙答对试题的数量进行分类讨论，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，分析可知，，计算出两人因答错试题而额外增加的时间的期望值，并算比较两人所用的时间的期望的大小，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，

且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，

所以，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜，

若乙答对道试题，甲答对道试题，概率为，

若乙答对道试题，甲答对道或道试题，概率为，

所以，乙获胜的概率为.

（2）解：设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为，

则，，

由二项分布的期望公式可得，，

则因甲答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，

因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以，甲最后所用的时间的期望比乙少秒，

所以，甲获胜的可能型更大.

22．已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

【答案】(1)

(2)证明见的解析

【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.

【详解】（1）[方法一]：常规求导

的定义域为，则

令,得

当单调递减

当单调递增，

若,则,即

所以的取值范围为

[方法二]：同构处理

由得：

令，则即

令，则

故在区间上是增函数

故，即

所以的取值范围为

（2）[方法一]：构造函数

由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设

要证,即证

因为,即证

又因为,故只需证

即证

即证

下面证明时，

设，

则

设

所以,而

所以,所以

所以在单调递增

即,所以

令

所以在单调递减

即,所以；

综上, ,所以.

[方法二]：对数平均不等式

由题意得：

令，则，

所以在上单调递增，故只有1个解

又因为有两个零点，故

两边取对数得：，即

又因为，故，即

下证

因为

不妨设，则只需证

构造，则

故在上单调递减

故，即得证

【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

这个函数经常出现，需要掌握