浙江省宁波市余姚市兰江中学2022-2023学年上学期第一次月考九年级数学试卷　（含答案）

这是一份浙江省宁波市余姚市兰江中学2022-2023学年上学期第一次月考九年级数学试卷　（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市余姚市兰江中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣7） C．（2，﹣7） D．（2，7）
2．下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（　　）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
3．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），则“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为（　　）

A． B． C． D．
4．将y＝3x2通过平移，先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，可得到抛物线是（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2+3
5．甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
6．二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）

A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤3
7．在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点．下列命题：①若a＞0，且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2；②若a＜0，且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2；③若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2；④若y1＝y2，则x1＝x2，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的有（　　）
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
A．①③④ B．②③ C．② D．②③④
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝x2+2x+2与y轴交点坐标为 　 　．
12．“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 　 　．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
13．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　．
14．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y＝﹣2x2+3x+相吻合，那么他能跳过的最大高度为　 　m．
15．已知二次函数自变量的部分的取值和对应的函数值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
则在实数范围内能使得y﹣5＞0成立的取值范围是　 　．
16．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，已知A（2，2）、P（1，0）．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 　 　．

三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．
（1）求b、c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．

18．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
59
96
118
290
480
600
摸到红球的频率
0.59
　 　
0.58
　 　
0.60
0.60
（1）完成上表；
（2）“摸到红球”的概率的估计值．（精确到0.1）
（3）试估算袋子中红球的个数．
19．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（2，0）．
（I）求顶点A的坐标；
（2）把该二次函数以y轴为对称轴作轴对称变换，求变化后的函数表达式．
20．余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾．
（1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　 　．
（2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由．

21．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．

22．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
（2）求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．
（3）已知点A（a，﹣1）、B（a+2，﹣1），线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．
23．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
24．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣7） C．（2，﹣7） D．（2，7）
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，7），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由抛物线的顶点式，可以写出顶点坐标．
2．下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（　　）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
3．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），则“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由在这两辆车牌中，共有14个字符，其中数字9出现3次，再根据概率公式计算可得．
解：在这两辆车牌中，共有14个字符，其中数字9出现3次，
∴“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．将y＝3x2通过平移，先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，可得到抛物线是（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+2；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+2向左平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+3）2+2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率≈0.33，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
6．二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）

A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤3
【分析】函数y的最小值从图象的最低点可以看出来，是顶点坐标的纵坐标，最大值从最高点可以看出来，即当x＝3时，y＝3，从而得到y的取值范围．
解：∵函数y的最小值是，最大值是3，
∴函数y的取值范围是≤y≤3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查数学形结合的数学思想，从图中得到函数y的最小值和最大值是解题的关键．
7．在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种等可能的结果，其中取到0的结果有8种，
∴顶点在坐标轴上的概率为＝．
故选：A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．
8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．
9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点．下列命题：①若a＞0，且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2；②若a＜0，且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2；③若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2；④若y1＝y2，则x1＝x2，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项①正确；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项②正确；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项③正确；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项④错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的有（　　）
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
A．①③④ B．②③ C．② D．②③④
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）得到a﹣b+c＝0，把b＝﹣2a代入得到c＝﹣3a，再利用2≤c≤3得到2≤﹣3a≤3，然后解不等式组可对②进行判断；利用当x＝1时，y有最大值得到a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），则可对③进行判断；利用直线y＝n与抛物线只有一个交点可判断直线y＝n+1与抛物线没有公共点，则可对④进行判断．
解：如图：

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，
∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝x2+2x+2与y轴交点坐标为 　（0，2）　．
【分析】由于y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入解析式中即可求解．
解：当x＝0时，y＝x2+2x+2＝0+0+2＝2，
∴抛物线y＝x2+2x+2与y轴交点坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上的点的坐标特点，此题主要利用了y轴上横坐标为0解决问题．
12．“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 　不可能事件　．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
解：∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
13．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有　13　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个．
故答案为：13．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y＝﹣2x2+3x+相吻合，那么他能跳过的最大高度为　　m．
【分析】根据二次函数解析式及顶点坐标公式，求顶点纵坐标，即函数最大值．
解：根据顶点坐标公式，
抛物线y＝﹣2x2+3x+的顶点纵坐标是y＝＝；
即：他能跳过的最大高度为米．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．
15．已知二次函数自变量的部分的取值和对应的函数值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
则在实数范围内能使得y﹣5＞0成立的取值范围是　x＜﹣2或x＞4　．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y﹣5＞0成立的x取值范围．
解：由表格可知，
该二次函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，
故y﹣5＞0成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，
故答案为x＜﹣2或x＞4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，已知A（2，2）、P（1，0）．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 　（，）　．

【分析】设b（0，b），过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，证明△ABD≌△CAE，进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．
解：过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，如图所示，

∵A（2，2），
∴AD＝CE＝2，
设B（0，b），则BD＝2﹣b，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE＝2﹣b，
∴OC＝DE＝AD+AE＝2+2﹣b＝4﹣b，
∴C（4﹣b，0），
∵M为BC的中点，
∴M（2﹣b，b），
当b＝1时，PM有最小值，
∴M（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．
（1）求b、c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．

【分析】（1）根据函数的图象过（1，0）（0，3），再代入y＝﹣x2+bx+c，列出方程组，即可求出b，c的值；
（2）把函数化为顶点式，求得对称轴和最大值即可．
解：（1）把（1，0），0，3）代入y＝﹣x2+bx﹣c得

解得b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，最大值为4．
【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，以及识图能力，即将求解的问题转化为图象上隐含的某个信息．
18．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
59
96
118
290
480
600
摸到红球的频率
0.59
　0.64　
0.58
　0.58　
0.60
0.60
（1）完成上表；
（2）“摸到红球”的概率的估计值．（精确到0.1）
（3）试估算袋子中红球的个数．
【分析】（1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
（2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
解：（1）填表如下：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
59
96
118
290
480
601
摸到红球的频率
0.59
0.64
0.58
0.58
0.60
0.601
故答案为：0.64，0.58；

（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，
故）“摸到红球”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；

（3）20×0.6＝12（个）．
答：口袋中约有红球12个．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
19．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（2，0）．
（I）求顶点A的坐标；
（2）把该二次函数以y轴为对称轴作轴对称变换，求变化后的函数表达式．
【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，然后将其转化为顶点式，直接得到答案；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论．
解：（1）把点（2，0）代入y＝﹣x2+mx+m﹣2，得
m﹣2＝2．
解得m＝4．
则该抛物线解析式是：y＝﹣x2+4x+2．
因为y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6．
所以顶点A的坐标为（2，6）；
（2）将此抛物线沿y轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是y＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）+2，即y＝﹣x2﹣4x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
20．余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾．
（1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　　．
（2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两袋垃圾都投放正确的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵共有4个垃圾桶，
∴他能正确投放垃圾的概率是．
故答案为：．
（2）记厨余垃圾桶为A，可回收垃圾桶为B，其他垃圾桶为C，有害垃圾桶为D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两袋垃圾都投放正确的结果有1种，
∴两袋垃圾都投放正确的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；
（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝＝；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
22．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
（2）求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．
（3）已知点A（a，﹣1）、B（a+2，﹣1），线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，则a的取值范围是　﹣2≤a≤2　．
【分析】（1）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用配方法得到二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（3）先计算出抛物线y＝﹣（x﹣1）2与直线y＝﹣1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+2≥0且a≤2．
【解答】（1）证明：∵△＝4m2﹣4（2m﹣1）
＝4m2﹣8m+4
＝4（m﹣1）2≥0，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2，
二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2）
当x＝m时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣（m﹣1）2，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上；
（3）当y＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝0，x2＝2，
当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，
所以a的范围为﹣2≤a≤2．
故答案为﹣2≤a≤2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）通过表中数据可设y与x之间的函数关系式y＝hx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价）列出关于x的方程，求解即可；
（3）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/本）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，
∴＝＝；
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无实数根；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．