2021-2022学年浙江省宁波市余姚市兰江中学七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年浙江省宁波市余姚市兰江中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如图．已知直线，被直线所截，且，，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 新冠病毒的直径约为纳米，已知纳米毫米，则纳米用科学记数法表示为(    )

A. 毫米 B. 毫米
C. 毫米 D. 毫米

4. 下列调查中，适用采用全面调查普查方式的是(    )

A. 对玉坎河水质情况的调查
B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C. 对某班名同学体重情况的调查
D. 对为某类烟花爆竹燃放安全情况的调查

5. 已知是二元一次方程组的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为了解某地区初一年级名学生的体重情况，从中抽侧了名学生的体重，就这个问来说，下面的说法中正确的(    )

A. 名学生是总体 B. 每个学生是个体
C. 名学生是所抽取的一个样本 D. 样本容量是

9. 张老师和李老师住在同一个小区，离学校米．某天早晨，张老师和李老师分别于点分，点分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是米分，则可列得方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图所示，长方形中放入张长为，宽为的相同的小长方形，其中，，三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为，大长方形的周长为，则一张小长方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 分式有意义的条件是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 定义运“”，规定，其中，为常数，且，，则______．
14. 若关于的方程无解，则______．
15. 若，则______．
16. 如图，直线，点在上，的一条边在上，且，现将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别是，，同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转的对应点是设旋转时间为秒．
    ______用含的代数式表示
    在旋转的过程中，若射线与边平行时，则的值为______秒．

三、解答题（本题共8小题，共66分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解方程组
    
    ．
19. 如图，在正方形网格中有一个三角形，图中每一个小正方形边长为，按要求完成下列各题：
    将三角形向右平移格，再向上平移格后得到三角形，画出三角形；
    求三角形的面积．

20. 先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
21. 如图，在中，于点，于点，．
    请说明的理由；
    若，，求的度数．

22. 为了加强学生对新冠肺炎的预防意识，某校组织了学生参加新冠肺炎预防的知识竞赛，从中抽取部分学生成绩得分数取正整数，满分为分进行统计，绘制统计图如图未完成，解答下列问题：
    若的频数比组小，则______，______；
    扇形统计图中，部分所对的圆心角为，求的值并补全频数分布直方图；
    若成在分以上不包括分优秀，全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
     

23. 杨梅是我市特产水果之一，素有“果中珍品”之美誉六月，正值杨梅成熟上市的时候．某杨梅基地零售批发“荸荠”，“东魁”两种杨梅．已知零售斤“荸荠”和斤“东魁”共需元；零售斤“荸荠”和斤“东魁”共需元，批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：

求“荸荠”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
某水果商打算用元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？不需要写出解答过程，直接写出答案就行
现用，，三种不同型号的水果箱共只，将中购得的杨梅进行装箱．装完所有的杨梅时，每只箱子刚好装满．已知种型号的水果箱每只能装斤，种型号的水果箱每只能装斤，种型号的水果箱每只能装斤，为了方便顾客选择，三种不同型号的水果箱都要有．通过计算说明共有几种装箱方案？

24. 【原题】已知直线，点为平行线，之间的一点，如图，若，，平分，平分．
    则______，______．
    【探究】如图，当点在直线的上方时，若，，和的平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，求的度数，并猜想的度数．
    【变式】如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试直接写出与的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，
，，
，
．
故选：．
由，，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据对顶角相等即可得到．
本题考查了两直线平行的性质：两直线平行，同位角相等；也考查了对顶角的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

3.【答案】 

【解析】解：纳米毫米毫米毫米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对玉坎河水质情况的调查适合抽样调查，故A错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查无法进行全面调查，适合抽样调查，故B错误；
C、某班名同学体重情况适用于全面调查，故C正确；
D、对于某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，无法进行全面调查，故D错误；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入二元一次方程组得：，
解得：，
，
故选：．
把代入二元一次方程组得出关于，的方程组，解方程组求出，的值，进而求出的值，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不能因式分解，
故A选项不符合题意；
B.不能因式分解，
故B选项不符合题意；
C.不能因式分解，
故C选项不符合题意；
D.，符合题意，
故选：．
对每个选项逐一进行因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，

故选：．
由与，代入即可求得答案．
此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将变形为是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：总体为“某地区初一年级名学生的体重情况”因此不正确，
个体为“每个学生的体重情况”故B不正确，
样本为“抽测了名学生的体重”因此不正确，
样本容量为“从总体中抽取个体的数量”因此D正确，
故选：．
本题考查的对象是某地区初一年级学生的体重，根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目即可作出判断．
本题考查了问题中的总体、个体、样本、样本容量等概念；关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

9.【答案】 

【解析】解：设张老师骑自行车的速度是米分，由题意得：
，
故选：．
设张老师骑自行车的速度是米分，则李老师骑自行车的速度是米分，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程他的速度李老师行驶的路程他的速度分钟，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出李老师和张老师各行驶米所用的时间，根据时间关系列出方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，大长方形的长，
大长方形的宽，
则大长方形的周长，
化简得，
阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
化简得，
大长方形的周长，
化简得，
，
即，
把代入得，
，
解得，
则一张小长方形的面积．
故选：．
大长方形的长，大长方形的宽，根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于，列出含有和的等式，通过变形得出小长方形的面积，即的值，从而求出结果．
本题考查列代数式，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，
则，
解得，，
故答案是：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
即，
解得：，，
，
故答案为：．
根据已知定义得出方程，，整理后得出关于、的方程组，求出、的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：去分母，得，
化简得，
当方程有增根为时，不存在；
当方程有增根时，得，
解得；
当时，原方程无解，此时，
综上所述：或，
故答案为：或．
去分母得，根据方程无解分情况讨论，求解即可．
本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：当时，
，
，此时符合题意．
当时，
，
，符合题意．
当时，
，
，符合题意．
故答案为：或或．
根据零指数幂的意义以及乘方运算法则即可求出答案．
本题考查零指数幂的意义、有理数的乘方，解题的关键是正确理解零指数幂的意义以及有理数的乘方，本题属于基础题型．
 

16.【答案】  秒或秒 

【解析】解：如图，由题意得：，，
，
故答案为：；
如图，，
延长交于，则，
由题意得：，，
，
；
如图，，
延长，交于，交直线于，则，
由题意得：，，
，
，
，
，
综上，在旋转的过程中，若射线与边平行时，则的值为秒或秒；
故答案为：秒或秒．
直接根据速度和时间可得：，所以根据余角的定义可得结论；
有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．
本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义进行计算，即可得出答案；
利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了实数的运算，平方差公式，完全平方公式，掌握绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，平方差公式，完全平方公式是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
则原方程组的解是；
两边同时乘以，得，
解得：，
经检验时原分式方程无意义，
则原分式方程无解． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

的面积为：． 

【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用三角形面积公式得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
 

20.【答案】解：





，
要使分式有意义，，，，
所以不能为，，，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出不能为，，，取，把代入化简结果，再求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】证明：于点，于点，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂直于同一直线的两直线平行得，再根据平行线的性质得结论；
先由三角形内角和定理求得，进而求得，再证明，再根据平行线的性质求得结果．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，关键是综合应用这些定理解题．
 

22.【答案】   

【解析】解：人，
人，人，
故答案为：，；
，人，
组人数：人，
补全频数分布直方图如图所示：

名，
答：全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有名．
从统计图中可知，组比组少，组比组少人，可求出调查人数，进而求出、的值；
部分占整体的，因此相应的圆心角占的即可；求出部分的人数，即可补全频数分布直方图；
样本估计总体，样本中优秀占，因此估计总体人的即为优秀的人数．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
 

23.【答案】解：设“荸荠”杨梅的零售单价为元，“东魁”杨梅的零售单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：“荸荠”杨梅的零售单价为元，“东魁”杨梅的零售单价为元．
设该水果商购进斤“东魁”杨梅，
依题意得：，
解得：．
答：该水果商最多能购进斤“东魁”杨梅．
设需要种型号的水果箱只，种型号的水果箱只，则需要种型号的水果箱只，
依题意得：，

又，，均为正整数，
或或或，
共有种装箱方案． 

【解析】设“荸荠”杨梅的零售单价为元，“东魁”杨梅的零售单价为元，根据零售斤“荸荠”和斤“东魁”共需元，零售斤“荸荠”和斤“东魁”共需元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该水果商购进斤“东魁”杨梅，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
设需要种型号的水果箱只，种型号的水果箱只，则需要种型号的水果箱只，根据用只箱子装斤杨梅且每只箱子刚好装满，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出共有种装箱方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图，过作，而，
，
，，
，
又，，平分，平分，
，，
，
同理：．
故答案为：，；
如图，和的平分线交于点，
，，
，
，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
，
，
同理可得，，
以此类推，的度数为；
理由如下：
如图，过作，而，
，
，，
，
又的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，
，，
，
，
，
．
过作，依据平行线的性质，即可得到，依据角平分线即可得出和的度数；
依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得，，，以此类推的度数为；
过作，进而得出，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到．
本题考查了平行线性质以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．