2022-2023学年浙江省宁波市江北区惠贞书院九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市江北区惠贞书院九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）某病毒的直径约为0.00000013m，则数据0.00000013m用科学记数法表示为（ ）m
A．0.13×10﹣6B．1.3×10﹣7C．0.13×10﹣7D．1.3×10﹣8
2．（4分）如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）假设命题“a＞0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ）
A．a≠0B．a≤0C．a＝0D．a＜0
4．（4分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
5．（4分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．不能确定
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是8
C．平均数是8.2D．方差是1.2
7．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
8．（4分）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（ ）
A．sinαB．csαC．tanαD．
9．（4分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a；当a＜b时，min{a，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣x+m}，且m＞﹣1（ ）
A．若m＝1，则当y≤﹣2时，则x≤﹣3或x≥3
B．当函数图象经过时，该函数图象的最高点的坐标为
C．，是函数图象上的两点，则y1＞y2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m＝3或5
10．（4分）如图，▱ABCD中，AB＝5a，∠A＝60°，平行四边形内放着两个菱形，它们的重叠部分是平行四边形IJFK．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK的面积为（ ）
A．a2B．2a2C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（5分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
13．（5分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
14．（5分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，则BD的长为 ．
15．（5分）“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，每天可以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元（a＞0），这款产品将开展“每天降价1元”的大促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现：该产品单价每降1元，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大 ．
16．（5分）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，点P是在直线AB的右侧的一动点，且∠APB＝60°，CE＝2﹣3．点P到直线AB距离的最大值是 ；PE的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17、18、19题每题8分，第20、21题10分，第22、23、24题每题12分，共80分）
17．（8分）按要求计算：
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中y＝﹣2．
18．（8分）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中，画△ABC的中线CD．
（2）在图2中，在AB边上找一点P，使点P到AC
19．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查
 （1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
20．（10分）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC＝16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD＝75°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，支撑板BD可绕点D转动．
（1）如图2，求摄像头（点A）离地面的高度h（精确到0.1cm）；
（2）如图3，为方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15°后，使点C落在水平托板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5；≈1.41，≈1.73）
21．（10分）如图所示，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，且位于x轴的下方，若点P（1，﹣3），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若D是抛物线上一点，且满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．
22．（12分）根据下列题目要求，解答下列问题：
（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE．求证AG＝CE．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB：BC＝2：3，相似比为AD：GF＝，∠ABG＝30°，延长EF交BC于M．探究线段AG与CE的数量关系．
（3）如图3，已知矩形ABCD∽矩形GBEF，连接AG、CE、DF2+CE2＝DF2，请你对这个数量关系加以证明．
23．（12分）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时；当x≥0时，它们对应的函数值相等，它的“伴随”函数为y＝．
（1）已知点M（﹣2，1）在一次函数y＝﹣mx+1的“伴随”函数的图象上，求m的值．
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．
①当点A（a，）在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值．
②当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AB＝BC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求证：∠ABC＝2∠CAD；
（2）如图2，延长AD，交⊙O于点E，DF＝DE，过点F作FG⊥AC，求证：AG＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，CH＝CE，连接AH、OH，S△ABC＝30，求线段OH的长．
2022-2023学年浙江省宁波市江北区惠贞书院九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000013＝1.7×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】根据三视图的定义分析，主视图是从正面看到的图形，即可求解．
【解答】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：1，2，2，
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，掌握以上知识是解题的关键．
3．【分析】由于a＞0的反面为a≤0，则假设命题“a＞0”不成立，则有a≤0．
【解答】解：假设命题“a＞0”不成立，则a≤0．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜3，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内．
∵﹣5＜0，8＜1＜5，
∴点A（﹣2，y1）在第二象限，点B（1，y7），C（5，y3）在第四象限，
∴y3＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆心的距离，小于圆的半径2，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，所以众数为2；
10次成绩排序后为：6，7，3，8，8，3，9，9，10，所以中位数是，故B选项正确；
平均数为（3+7×2+2×3+9×7+10×2）＝8.8；
方差为[（6﹣8.2）2+（8﹣8.2）4+（7﹣8.3）2+（8﹣6.2）2+（4﹣8.2）4+（8﹣8.6）2+（9﹣6.2）2+（3﹣8.2）3+（10﹣8.2）4+（10﹣8.2）6]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
7．【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为6：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：4，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
8．【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，tan∠BOC＝，代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
9．【分析】根据min的定义求出两个函数，把m＝1代入再根据函数的性质求解可判断A选项；把代入y＝﹣x+m，再根据函数的性质求解可判断B选项；根据min的定义分类求解可判断C选项；计算各出，据此可判断D选项．
【解答】解：当x+1≥﹣x+m时，即时，y＝﹣x+m，
当x+1＜﹣x+m时，即时，y＝x+1，
∴，
A．若m＝7，，
当x≥0时，y＝﹣x+1，即﹣x+2≤﹣2；
当x＜0时，y＝x+5，即x+1≤﹣2；
∴当y≤﹣4时，则x≤﹣3或x≥3；
B．当函数图象经过时，将，
显然只有时，函数图象才能经过，
∴，即，，
∴，
∵当时，y随x的增大而减少，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，即时，函数取得最大值，
∴该函数图象的最高点的坐标为，故选项B正确；
C．∵，∴，
∴当时，，，
∴，
∴当时，，
∵，
∴y7＞y2，故选项C正确；
D．当时，即x≥1，y＝﹣x+m，
此时，y随x的增大而减少，
∴在4≤x≤2内，当x＝1时，
∴﹣7+m＝3，解得m＝4；
当时，即x≤8，y＝x+1，
此时，y随x的增大而增大，
∴在1≤x≤5内，当x＝2时，
∴2+2＝3，等式成立；
综上，当1≤x≤7时，m＝4或﹣1＜m≤3；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
10．【分析】结合题意由平移的性质可得▱EALJ的周长＝▱IJFK的周长＝▱GKHC的周长＝6a，过点I作IP⊥EF，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质求得IP，从而求解．
【解答】解：由题意▱ABCD的周长为2（AB+BC）＝18a，
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：▱EALJ的周长＝▱IJFK的周长＝▱GKHC的周长＝×18a＝6a，
∴IJ+JF＝EJ+JL＝GK+KH＝3a，
∴HI＝IK+KH＝8a，DG＝EJ+JF＝3a，
∴DG＝HI，
∴IJ+JL+JF+EJ＝6a，IJ+KH+GK+JF＝7a，
又∵AB＝5a，BC＝4a，
∴EF＝IL＝7a，AE＝JF＝a，∠IJF＝∠DEF＝∠A＝60°，
过点I作IP⊥EF，
∴在Rt△IJP中，
JP＝IJ＝a＝a，
∴平行四边形IJFK的面积为JF•IP＝a2，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，平移的性质及含30°直角三角形的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+5）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣8）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝6+22＝5，PB2＝13+32＝10，
∴PD5+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，
所以抽到同一类书籍的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．【分析】连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB为等边三角形，进而求出∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，
∴BD＝OB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．【分析】设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，利用每天缴纳摊位管理费用后的利润＝每件缴纳摊位管理费用后的销售利润×日销售量，可找出y关于t的函数关系式，结合每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，可求出a≤5，再结合a＞0，即可求出a的取值范围．
【解答】解：设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，
根据题意得：y＝（110﹣t﹣40﹣a）（20+4t），
整理得：y＝﹣4t6+4（65﹣a）t+1400﹣20a，
∵﹣4＜3，当1≤t≤30时，
∴≥30，
解得：a≤2，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤2．
故答案为：0＜a≤5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y关于t的函数关系式是解题的关键．
16．【分析】由题意知点P在以AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧上，当点P在弦AB的垂直平分线OF上时，点P到直线AB的距离最大，最大值为PF；当点P、E、O共线时，PE有最小值，利用解直角三角形的知识求解即可．
【解答】解：如图，由题意知点P在以AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧上，
过O作OF⊥AB于点F，则OF是AB的垂直平分线，
当点P在弦AB的垂直平分线OF上时，点P到直线AB的距离最大，
此时△PAB是等边三角形，则，
∵∠PBA＝60°，
∴；
当点P、E、O共线时，
直线OF交CD于点G，连接OB，
则四边形BCGF为矩形，
在Rt△BFO中，∠BOF＝60°，，
∴，
∴OG＝3﹣6＝1，，
∴，
故答案为：4，．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，推导出点P在以AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧上是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17、18、19题每题8分，第20、21题10分，第22、23、24题每题12分，共80分）
17．【分析】（1）首先根据零指数幂、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值进行运算，再进行实数的混合运算，即可求得结果；
（2）首先进行分式的加减运算，再把y＝﹣2代入化简后的式子，即可求得结果．
【解答】解：（1）
＝
＝7﹣2+1
＝4；
（2）
＝
＝
＝y+2，
当y＝﹣7时，原式＝2﹣2＝7．
【点评】本题考查了零指数幂、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简及求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
18．【分析】（1）首先可找到AC边上的中点E，再过点E作BC的平行，据此即可画得，再根据相似三角形的性质即可证得；
（2）在点A右侧距离为2的格点上取点F，连接CF，CF与AB的交点即为点P即可，再根据相似三角形的性质即可证得．
【解答】解：（1）如图1：取AC边上的中点E，过点E作ED∥BC，连接CD，
证明：∵点E是AC的中点，
∴，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ACD，
∴，
∴点D是AB的中点，
∴CD是△ABC的中线；
（2）如图3：取点F，连接CF，点P即为所求的点，
证明：由图可知：AF为2个单位长度，BC为3个单位长度，
∵AF∥BC，
∴△AFP∽△BCP，
∴，
过点P分别作PM⊥AC，PN⊥BC，N，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MC＝PN，
∴PM∥BC，PN∥AC，
∴△APM∽△ABC，△PBN∽△ABC，
∴，
∴点P到AC，BC的距离之比为2：3．
【点评】本题考查了基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
19．【分析】（1）宣传活动前，属于类别C的人数最多，用类别C的人数的人数除以总人数即可求解；
（2）活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数＝在抽取的市民中“都不戴”的人数占抽取人数的百分比×30万；
（3）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】解：（1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多×100%＝51%．
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为：30×＝5.31（万人）．
（3）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：×100%＝8.7%．
178﹣1＝177（人），
故活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：×100%＝17.7%．
4.9%＜17.7%．
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点评】本题考查了用样本估计总体，是一道有关用样本估计总体、条形统计图的题目．
20．【分析】（1）作BF⊥DE于点F，BG∥DE，AG⊥BG于点G，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AG，BF，即可求解；
（2）通过旋转后的图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图2，作BF⊥DE于点F，AG⊥BG于点G，
∵∠BDE＝60°，
∴∠DBF＝30°，
∵BD＝16cm，
∴BF＝8cm，
∵∠CDB＝75°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∵AC＝16cm，B是AC的中点，
∴AG＝4cm，
∴h＝AG+BF+120＝3+8．
（2）∵∠CBD＝75°，把AC绕点B逆时针旋转15°后，
∴∠DBC＝75°+15°＝90°，
∵BD＝16cm，BC＝8cm，
∴tan∠BDC＝＝0.7，
∴∠BDC≈26.6°，
∴α＝60°﹣26.6°＝33.5°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用方法也是解题的关键．
21．【分析】（1）把B、P两点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可；
（2）分点D在点P左边和右边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）把P（1，﹣3），7）代入y＝ax2+c中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1所示，当点D作点P的左边时，
∵∠DPO＝∠POB，
∴DP∥OB，
∴点D与点P关于抛物线的对称轴对称，
∵P（1，﹣3），
∴D（﹣2，﹣3）；
如图2所示，当点D在点P右边时，设点Q的坐标为（q，
∵∠DPO＝∠POB，
∴OQ＝PQ，
∴q8＝（q﹣1）2+82，
∴q＝5，
∴点Q的坐标为（5，0），
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线PQ的解析式为，
联立，
解得或x＝1（舍去），
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为（﹣7．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22．【分析】（1）根据SAS定理，即可证得△ABG≌△CBE，据此即可证得结论；
（2）设AB＝2a，BC＝3a，根据，可求得，，据此即可证得△ABG≌△CBE，据此即可求得；
（3）将△ABG沿AD向右平移，使AB与DC重合，得到△DCN，连接FN，与BC、CD分别交于点H、O，可证得四边形ECNF为平行四边形，CE＝NF，∠ECH＝∠NHC，再根据矩形ABCD∽矩形GBEF，可证得△ABG≌△CBE，可得∠BAG＝∠CDN＝∠BCE，据此即可证得△DNF是是直角三角形，即可证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和BEFG都是正方形，
∴BA＝BC，BG＝BE，
∴∠ABG+∠GBC＝∠GBC+∠CBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG与△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
（2）解：∵AB：BC＝2：3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∵矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为，
∴AD＝BC＝6a，BE＝GF，，
∴，，
∴，，
∴，
∵∠ABG＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠GBC＝60°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABG＝∠CBE
∴△ABG≌△CBE，
∴，
∴；
（3）证明：将△ABG沿AD向右平移，使AB与DC重合，连接FN、CD分别交于点H、O，
∴AG＝DN，∠BAG＝∠CDN，BG∥CN，
∵四边形GBEF是矩形，
∴BG＝EF，BG∥EF，
∴EF＝CN，EF∥CN，
∴四边形ECNF为平行四边形，
∴CE＝NF，CE∥NF，
∴∠ECH＝∠NHC，
∵矩形ABCD∽矩形GBEF，
∴，
又∵∠ABG＝∠CBE，△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE，
∴∠CDN＝∠BCE＝∠NHC，
又∵∠HOC＝∠DON，
∴∠DNF＝∠DCB＝90°，
∴△DNF是直角三角形，∴DN2+NF4＝DF2，∴AG2+CE3＝DF2
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，直角三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
23．【分析】（1）写出y＝﹣mx+1的“伴随”函数，代入计算；
（2）①写出二次函数的“伴随”函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解答】解：（1）y＝﹣mx+1的“伴随”函数，
将M（﹣5，1）代入y＝mx﹣1得：5＝﹣2m﹣1，
解得m＝﹣3；
（2）二次函数的“伴随”函数为，
①当a＜2时，将代入，
得，
解得：（舍去），或，
当a≥0时，将代入，
解得：或．
综上所述：或或；
②函数y＝﹣x2+4x﹣的“伴随”函数存在最大值或最小值
当﹣3≤x＜3时，，抛物线的对称轴为x＝2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0≤x≤3时，函数，
当x＝0有最小值，最小值为，有最大值，
综上所述，当﹣3≤x≤3时的“伴随”函数的最大值为．
【点评】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点代入解析式．
24．【分析】（1）设∠CAD＝x，利用直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可证明；
（2）连接CE、CF，推出CD垂直平分EF，结合（1）的结论证明∠CAD＝∠ACF，推出AF＝CF，利用等腰三角形的性质即可证明结论；
（3）作出如图辅助线，利用三角形面积公式求得AD＝6，利用勾股定理求得 BD＝8，CD＝2，再推出再利用正切函数tan∠OBT＝＝tan∠CAD＝＝＝，求得OT＝．最后利用勾股定理求得OH＝＝．
【解答】（1）证明：设∠CAD＝x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣x，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝90°＝x，
∴∠ABC＝180°﹣（90°﹣x）﹣（90°﹣x）＝2x，
∴∠ABC＝2∠CAD；
（2）证明：连接CE、CF，
∵DE＝DF，CD⊥AE，
∴CD垂直平分EF，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵AC＝AC′，
∴∠E＝∠ABC＝4∠CAD，
∴∠CFE＝2∠CAD，
∵∠CFD＝∠CAD+∠ACF，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AF＝CF，
∵FG⊥AC，
∴AG＝CG；
（3）解：过O作ON⊥AB于点N，连接OB，
∵S△ABC＝30，AB＝BC＝10，
∴BC•AD＝30．
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，BD2＝AB4﹣AD2，即BD＝＝8，
CD＝BC﹣BD＝4，
∴tan∠ABC＝，
∵＝，
∴∠E＝∠ABC，
∴tan∠E＝＝，
∴DE＝，
∴CE＝＝，
∵CH＝CE，
∴CH＝，
∴TH＝5﹣＝，
∵OB＝OB，BN＝BT，
∴Rt△BON≌Rt△BOT（HL），
∴∠OBT＝∠OBN＝∠ABC＝∠CAD，
∴tan∠OBT＝＝tan∠CAD＝＝＝，
∴OT＝．
在Rt△OTH中，由勾股定理得：OH＝＝．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．