2023届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试题含答案

2023届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，B，C通过举反例进行判断即可，对于D，由指数函数的性质判断即可

【详解】解：对于A，当时，，所以A错误；

对于B, 当时,，所以B错误，

对于C，当时，，所以C错误，

对于D，因为指数函数在上为增函数，且，所以，所以D正确，

故选：D

2．角的终边落在区间内，则角所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】找到，终边所在的位置，即可求解.

【详解】的终边在轴的非正半轴上，的终边在轴的非正半轴上，

故角为第三象限角，

故选：C

3．已知函数，，且，给出以下结论：①恒成立；②恒成立.则（    ）

A．①正确，②正确 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①错误，②错误

【答案】A

【分析】根据函数的性质判断即可．

【详解】对于①，因为，且，所以，于是，

因为，所以，所以，于是，所以①对；

对于②，因为，且，由函数的性质得，，

由①知，因为在，上单调递增，所以，所以②对．

故选：A

4．已知函数的值域是，有下列结论：①当时，； ②当时，；③当时，； ④当时，．其中结论正确的所有的序号是．

A．①② B．③④ C．②③ D．②④

【答案】C

【解析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．

【详解】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）＝22﹣x+1﹣3＝23﹣x﹣3，单调递减，

当﹣1＜x＜1时，f（x）＝22+x﹣1﹣3＝21+x﹣3，单调递增，

∴在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，

∴当x＝1时，取最大值为1，

∴绘出的图象，如图下方曲线：

①当n＝0时，f（x），

由函数图象可知：

要使f（x）的值域是[﹣1，1]，

则m∈（1，2]；故①错误；

②当时，f（x），

f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，

∴；故②正确；

③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，

故选：C．

【点睛】本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．

二、填空题

5．集合，则___________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】由题意知，

，

所以.

故答案为：.

6．若，则___________.

【答案】-0.25

【分析】由诱导公式求解即可.

【详解】

故答案为：

7．不等式的解集是______________．

【答案】

【详解】或.

即答案为.

8．已知，，，则的最大值是_____________.

【答案】.

【分析】直接根据基本不等式求最值．

【详解】解：∵，，，

∴，

当且仅当时等号成立，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意等号成立的条件，属于基础题．

9．已知二元线性方程组有无穷多解，则实数________

【答案】

【分析】若二元线性方程组有无穷多解，则两个方程对应系数必成比例．

【详解】方程组有无穷多解

直线和直线重合，

即两个直线方程对应系数必成比例；

，解得；

故答案为：．

10．若函数是偶函数，则__________．

【答案】

【详解】由题可知，有，则，得．代入检验满足题意.

11．把化成的形式，则常数的值为___________.

【答案】

【分析】根据辅助角公式可得，其中，进而求出.

【详解】由题意知，

，

其中，所以.

故答案为：.

12．设函数.若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，利用分段条件分类讨论，列出不等式，结合指数函数与幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数，且，

当时，令，即，解得；

当时，令，即，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

13．设，若函数是定义在上的奇函数，且当时，，若是上的单调增函数，则取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性求出函数解析式，结合分段函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数为R上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，

当时，在上不是单调增函数，故；

当时，，

当时，，则，

得，即当时，

所以，

因为函数在R上单调递增，所以，解得；

所以a的取值范围为.

故答案为：.

14．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．

【答案】（﹣，4）

【分析】对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，需讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系，确定出最小值建立不等式，解之即可．

【详解】∵f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，

对称轴x=﹣（a﹣2），

对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，

∴讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系得：

或 或 ，

解得a∈ϕ或1≤a＜4或﹣＜a＜1，

∴a的取值范围为（﹣，4）

【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.

15．设是第二象限角，且满足，则___________.

【答案】

【分析】根据是第二象限角，得到，再由平方求解.

【详解】解：因为是第二象限角，即，

则，

当k为偶数时，，当k为奇数时，，

由平方得

，

即，

所以，

故答案为：

16．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.

【答案】

【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.

【详解】解：由题可知，不妨设，

对于，对任意实数，，方程有解，

当时，方程可化为有解，

所以恒成立，所以；

当时，同上；

当时，方程可化为有解，所以，

综上得：；

对于，对任意实数，，方程也有解，

当时，方程可化为有解，所以；

当时，同上；

当时，方程可化为有解，

所以恒成立，所以，

所以的值的集合为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.

三、解答题

17．已知常数，函数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若在上为增函数，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设，令可得，结合题设不等式，解一元二次不等式并利用指数函数的性质求解集.

（2）利用对勾函数、指数函数的单调性判断的单调增区间，结合已知得即可求的取值范围.

【详解】（1）由题设，，令，则，

∴，即，整理得，解得.

∴，即，故的解集为.

（2）令，则，又，

∴上递减，上递增，又为增函数，

∴上为增函数，要使在上为增函数，

∴，可得，故的取值范围.

18．对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“其函数”生成的.

(1)若和生成一个偶函数，求的值；

(2)若是由函数且生成，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先用待定系数法表示出偶函数，再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可；

（2）先用待定系数法表示出偶函数，再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求的取值范围；

【详解】(1)设，

是偶函数，∴，

即

，．

(2)设，

，解得，

．

由知，，

当且时，，当时取等号，

当时，，当时取等号，

．

19．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

【答案】（1），；（2），

【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；

(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.

【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.

由题意可得：，，，

所以存储成本费，

若该化工厂每次订购300吨甲醇，

所以年存储成本费为；

(2)因为存储成本费，，

所以，

当且仅当，即时，取等号；

所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.

20．定义区间以长度均为，已知不等式的解集为.

(1)求的长度；

(2)函数的定义域与值域都是，求区间的最大长度；

【答案】(1)7；

(2).

【分析】(1)根据分式不等式的解法求出集合A，结合题意给的定义即可求解；

(2)化简函数，研究的单调性，可得，即m、n是方程

的同号互异的实根，利用韦达定理和判别式得出m、n的关系，即可求解.

【详解】(1)，

即，解得，

所以，故集合A的长度为；

(2)函数的定义域为，

由函数的定义域和值域都是，

得，

所以函数在上单调递增，

有，即m、n是方程的同号互异的实根，

所以m、n是方程的同号互异的实根，

故，，

即，解得或，

则，

当即时，取到最大值，

所以区间的最大长度为.

21．设函数在上有定义，实数和满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P.

（1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围；

（2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P；

（3）若对于满足的任意实数和，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，.

【答案】（1）；（2）具有性质；（3）证明见解析．

【分析】（1）由对称轴可得；

（2）求出在上的函数解析式，判断出函数在上后一个区间上的函数值都比前一个区间上的函数值大，从而函数最小值（如果有）只能在第一个区间上取得，但在上函数无最小值，因此可得出结论；

（3）由绝对值的性质知，即夹在和之间，如果，则在上有最小值，不具有性质，与已知矛盾，从而只能是，然后只要说明对任意的，一定有，，则必有，而，因此结论显然成立．

【详解】（1），对称轴，当时，是最小值，当时，是最小值，只有当，即时，在是递增，无最小值；

（2）时，，，同理时，，，

即，易知当时，是最大值，而对任意的，，，都有恒成立，

∴时，若有最小值，则只有在时取得，但当时，是减函数，无最小值，∴在上无最小值，具有性质；

（3）对于任意，当时，

有：,

∴，

若成立，则在上有最小值，不具有性质，不合题意，所以只有．

显然有，

则对任意的，则一定存在，使得则，，

∴，即．

【点睛】本题考查函数的创新题，考查学生的创新意识，考查二次函数的最值、分段函数的值域，对抽象函数问题，要能从条件中发现结论，如，然后确定函数值按一定规律在递增，接着本题只要说明与不在同一个区间上，即能证明结论．