2024届上海市南汇中学高三上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市南汇中学高三上学期9月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】要使有意义，则，即，
解得或，即函数的定义域为.
故答案为：.
2．函数的驻点是 ．
【答案】0
【分析】求导，令导函数为0，进而求出驻点.
【详解】，令，解得，故驻点为0.
故答案为：0
3．若幂函数的图象过点，则 ．
【答案】
【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，即，得，
所以，.
故答案为：
4．如果，为第三象限角，则 ．
【答案】/
【分析】先利用诱导公式化简，再求值
【详解】由诱导公式可知，
又且为第三象限角，所以，
所以，
故答案为：
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】因为，则，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
6．函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】函数在区间上单调递增，
所以，
所以值域为.
故答案为：
7．若，则的值等于 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式求得，然后利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】由诱导公式可得，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了诱导公式、二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
8．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据奇偶性得到，根据得到4是的一个周期，然后根据奇偶性和周期性求函数值即可.
【详解】因为为R上的奇函数，所以，
因为，所以4是的一个周期，
所以.
故答案为：.
9．中，，则A的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．
【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即 ．
所以 ，
因为，所以．
【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．
10．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用单调性与奇偶性解不等式．
【详解】因为当且时，总有，
即当时，，所以是上的减函数，
又，则是偶函数，且在上递减，
不等式即为，也即，
所以，，，
故答案为：．
11．已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式可知为偶函数，则只能是，带入求解即可.
【详解】因为的定义域为，
又，
所以为偶函数，
因为函数的零点有且只有一个，故，即，即.
故答案为：
12．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 .
【答案】
【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
【详解】解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.
二、单选题
13．已知为实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
【答案】B
【分析】利用充分条件与必要条件的定义结合指对数函数的单调性即可求解.
【详解】充分性：由题知，﹐由，可得，可以取负实数，不满足对数函数的定义域，因此不能推出，故不充分；
必要性：时，可以得出，进而，故必要；
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14．下列函数中，既是上的增函数，又是偶函数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.
【详解】对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在是减函数.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.
15．已知的三边分别为，，，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
【答案】A
【分析】由已知条件得到三角形三边的关系，结合余弦定理判断最大角的范围即可.
【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为，，，由可知，且,角C为最大角 ，
由，所以有，即，得，
中,由余弦定理得，所以最大角是锐角，故是锐角三角形.
故选：A.
16．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列3个函数，则存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”个数为（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据函数新定义、二次函数、指数函数、对数函数、导数等知识对函数进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①当时，，满足条件，
且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有一个.
②为函数的“可等域区间”.
当时，，函数单调递增，
满足条件，∴取值唯一，满足条件.
③∵单调递增，且函数的定义域为，
若存在“可等域区间”，则满足，即，
且，∴是方程的两个根.
设.
由，得，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
，
∴不可能存在两个解，故不存在“可等域区间”.
综上所述：存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为①②，2个.
故选：C
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、解答题
17．己知点是角终边上一点．
(1)求的值；
(2)若将角终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角的终边，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由点是角终边上一点得，，，根据诱导公式可得，代入可得；
（2）先根据题意，由两角和的余弦公式可得.
【详解】（1）因为点是角终边上一点，
所以，，，
（2）将角终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角的终边，
故，
所以
18．已知在中，分别为内角所对的边，且满足，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）余弦定理结合已知可解得b，c，然后由面积公式可得；
（2）根据已经边化角，然后求出，然后可得，结合正弦定理可得周长.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
又，所以，解得，，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，，
因为，所以，所以，
若B为锐角，则，
所以，
所以三角形周长为；
若B为钝角，则，，
所以三角形周长为.
综上，当B为锐角时，周长为；
当B为钝角时，周长为.
四、应用题
19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：
(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】(1)；
(2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.
【详解】（1）由题得利润等于收入减去成本.
当时，；
当时，.
（2）当时，时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
时，的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
五、解答题
20．函数，．
(1)若，是否存在实数，使得是奇函数；
(2)若，且的图象与x轴的正半轴有两个交点，求实数的取值范围；
(3)若，， ，已知对任意的，都存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)不存在
(2)
(3)
【分析】（1）按奇函数的定义用反证法即可判断是否存在满足题意的实数；
（2）先把已知条件转化为方程的正根，再用判别式、根与系数的关系和分母不为0即可解得a的取值范围；
（3）先把已知条件转化为，再分类讨论解得c的取值范围.
【详解】（1）时，若为奇函数，则时，代入表达式有，即，与事实矛盾，
故不存在满足题意的实数；
（2）时，.
依题意可得函数有2个正的零点，即方程有2个不等正根，也即有2个不等正根，
所以，
解得；
（3）时，，.
依题意可得，而当时，.
当时，
若，即时，.
此时根据得，解得，与矛盾，不符题意；
若，即时，.
此时根据得，解得，故；
若，即时，.
此时根据得，解得，故；
综上所述：实数的取值范围是.
21．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”．
(1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；
(2)若函数与存在“好点”，求实数的值；
(3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)
(3)
【分析】（1）假设存在“好点”，解方程组可得；
（2）设“好点”为，解方程组得结论．
（3）设“好点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围，
【详解】（1），，
假设存在满足，代入得，解得；
所以存在存在“好点”，且“好点”为1；
（2），，
设“好点”为，满足，代入得，；
（3）由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，所以，
所以．
【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“好点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“好点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．