2024届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了填空题，多选题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设集合，，则= ；
【答案】
【分析】根据集合的交集运算意义求解即可
【详解】由题，即中两个方程组成的方程组的解集，联立可得，故
故答案为：
【点睛】本题主要考查了交集的计算，注意理解交集中元素的意义，属于基础题
2．若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 ．
【答案】且成立
【分析】假设结论的反面成立，即可求解．
【详解】解：假设结论的反面成立，即且成立．
故答案为：且成立．
3．空间向量的单位向量的坐标是 ．
【答案】
【分析】单位向量只需根据即可求出.
【详解】，，.
故答案为：
4．已知点是角其终边上一点，若，则
【答案】
【分析】由任意角的三角函数的定义求得的值，即可求得sinθ的值．
【详解】|OP|，
由cs，解得t＝±．
∴sin，
故答案为：.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，是基础题．
5．已知且，则的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果.
【详解】因为，当且仅当时取得等号；
又当时，；当时，，故，当且仅当时取得等号；
则，当且仅当或时取得等号.
故答案为：.
6．已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为
【答案】
【分析】依题意知，求得展开式中的通项为Tr+1，令r=3，解得n，求出项的系数是偶数的项的个数，结合古典概型即可求得答案．
【详解】设展开式中的通项为Tr+1，
则Tr+1•xn﹣r•x﹣r•xn﹣2r，
当r=3时，n﹣2r＝0，
解得n＝6，
∴展开式中共有7项，
其中只有3项的系数，，为偶数．
该项的系数为偶数的概率是
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式的项的系数、二项式系数、古典概型概率公式．
7．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论.
【详解】由知，
当时，；
当时，，
此时，当时，，
当时，，而，
若数列是等差数列，则，
所以，则.
故答案为：.
8．已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据三角函数的图象变换规律可得，设的对称轴，由条件求得，可得，从而求得答案.
【详解】把函数 的图象向左平移 个单位后，
得到函数的图象,
再根据 的图象上各最高点到点 的距离的最小值为 1 ,
设 的对称轴 , 则最高点的坐标为 ,
它与点 的距离的最小值为 1 ,即 , 求得 ,
可得 , 即 ,
,
故答案为：.
9．等腰三角形一腰的中线长为，则该三角形面积的最大值为
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，假设出各点坐标，得到向量，利用得到满足的关系；利用表示出三角形面积后，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出最大值.
【详解】由题意，建立如下图所示的平面直角坐标系：
设，，
为中点
当且仅当，即时取等号
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用基本不等式解决几何中的最值问题，关键是能够通过长度关系得到满足的关系式，从而利用基本不等式求解积的最大值的方法得到所求最值.
10．直线与半圆交于A、B两点，设的倾斜角是，则
【答案】
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：，由此利用韦达定理能求出结果．
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2）
由三角函数的定义得：，
由，消去y得：
则，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查两角和的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和三角函数定义的合理运用，属于中档题．
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “函数”，则关于狄利雷函数和函数有以下四个结论：
（1）；
（2）函数是偶函数；
（3）函数图象上存在四个点，使得四边形为菱形；
（4）函数图象上存在三个点，使得为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】（1）（4）
【分析】根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性，可判定（1）（2）；利用反证法，可证得（3）错误；直接取点说明（4）正确；
【详解】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确；
由，可得，不满足，
所以函数不是偶函数，所以（2）错误；
由L函数定义，可得函数图象上的点要么在直线上，要么在直线上，若函数图象上存在四个点，使得四边形为菱形，
因为菱形的对角线互相垂直平分，则直线和不是对角线所在的直线，
不妨设，
则与互相垂直平分，可得，可得与，与重合，且方程不成立，所以（3）错误；
取函数图象上三个点,
则，使得为等边三角形，所以（4）正确.
故答案为：（1）（4）
12．已知函数在上恒取正值.则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】已知条件等价于不等式恒成立.
上式两边同除以，则有.
设，则.
下面求 的最小值.
由，
当且仅当时，上式等号成立.
于是，的最小值为.
根据题意得，
即.①
令，则.
因此，式①化为.
解得或.
结合的范围，得.
则.
于是，.
故的取值范围是.
故答案为
二、多选题
13．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．，，，的平均数等于，，…，的平均数
B．，，，的中位数不等于，，…，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D．，，，的极差不大于，，…，的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.
【详解】对于A，令样本数据为，
则的平均数为2，而的平均数为3，两者不相等，A错误；
对于B，不妨令，，…，从小到大排列，
所以的中位数等于的中位数等于，B正确；
对于C，令样本数据为，
可知的平均数是5，的平均数是5 ，
所以的方差，
的方差，
所以，C错误；
对于D，不妨令，，…，从小到大排列，则，
，D正确.
故选：BD.
三、单选题
14．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别计算，的范围以及的值，进行运算比较即可求解.
【详解】由题意得, ,所以，
,所以,
,故C错误；
则有，
因为，
可得，故A错误；
因为，，则，
所以，故B错误;
，
所以，故D正确.
故选: D.
15．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
16．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
四、解答题
17．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)30°
【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，．
所以，
因为平面,
所以平面的一个法向量为，
因为，所以，
因为平面，
所以平面
（2），，．
设平面的一个法向量为
则，令，则，，
所以
设与平面所成角为，
则．
因为，
所以与平面所成角为30°．
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得；
（2）利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质可得.
【详解】（1），
，
，
或
（2）是锐角三角形，
则
，
是锐角三角形，，即，
，
，
的取值范围为.
19．已知数列满足：，．
(1)求证是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求使不等式成立的所有正整数m，n的值．
【答案】(1)，
(2)或或
【分析】（1）令，利用等比数列的定义即可证数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式，即可解得数列的通项公式.
（2）利用（1）中求得的解得，代入不等式分析并分类讨论，根据不等式的解法即可解得正整数m，n的值．
【详解】（1）解：由题意，，令，则，
且由题意，，易知，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，.
∴，.
（2）解：由（1）知，则，
∴不等式即，
∵，∴，
∴，
∵当时，，，
∴，不满足要求；
∴，又∵，
∴当时，，即
可解得：，∴；
当时，，即，
可解得：，∴；
当时，，即，
可解得：，∴.
综上，使不等式成立的所有正整数m，n的值为或或.
20．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点.
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，面积为.
【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为；
（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；
（3）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系，得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为.
【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，得，
故曲线的方程为；
（2）设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（3）
，
依题意得，整理后得，
∴或，但∴，
故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又，
∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是首先利用弦长公式求出，从而得到直线的方程，再设，根据向量式和韦达定理得到，再将其代入双曲线方程即可解出.
21．已知，.
(1)求函数的单调区间；
(2)①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：；
②数列满足，，证明：.
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数单调区间，
（2）①构造函数，利用导数可得所以在恒成立，再由结合（1）可得当时，的图象始终夹在直线和直线之间，从而可证得结论；
②利用导数可求得当时，，由（1）知在单调递减，在单调递增，然后根据两函数的单调性可证得结论.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
令，解得，令，解得，
所以函数的减区间为，增区间为.
（2）①构造函数，则，
当时，函数单调递减，则，
所以在恒成立，
所以在单调递减，所以，所以在恒成立，
又由（1）可知，当时，，
所以当时，的图象始终夹在直线和直线之间，
且的图象不会和直线和直线相交，
又因为直线和直线的夹角为，因此恒成立，命题得证.
②，恒成立，
且，所以当时，，
又由（1）可知数在单调递减，在单调递增，
因为，所以，，，，
又因为，所以，所以，
又因为在单调递减，所以，
即即，
所以，则，所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）①的解题关键是正确构造函数，然后利用导数可求得在恒成立，从而可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60-90
混合动力汽车
10
50-60
电动汽车
10
40