初中第一章 勾股定理综合与测试习题
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第一章 勾股定理（A卷·知识通关练）
核心知识1 利用勾股定理求面积
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
- 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、．若，则的值是
A．3 B．6 C．7 D．8
- 如图，字母所代表的正方形的面积是
A．12 B．13 C．25 D．194
- 如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是
A．13 B．12 C．6 D．3
- 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，若，，则
A．6 B．7 C．10 D．29
核心知识2 判断直角三角形
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
- 满足下列条件的，不是直角三角形的是
A． B．
C． D．
- 在中，所对的边为，所对的边为，所对的边为，下列选项中不能判定为直角三角形的是
A． B．
C．，， D．
- 已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是
A． B．
C． D．
- 若的三边长分别为，，，则下列条件中能判定是直角三角形的有
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在中，三边长、、满足，则的形状是
A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形
C．以为斜边长的直角三角形 D．不是直角三角形
- 如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求证：．
核心知识3 利用勾股定理求最短路径
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股
定理即可求解.
- 如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
A． B． C． D．
- 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 ．
A．14 B．12 C．10 D．8
- 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ．
A．15 B． C．12 D．18
- 如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
A． B． C． D．
核心知识4 勾股数相关问题
【方法点拨】勾股数的求法：
（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
- 下列各组数中，是勾股数的是
A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．3，4，
- 下列各组数是勾股数的是
A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25
- 下列各组数中，是勾股数的是
A．1，，3 B．0.3，0.4，0.6 C．9，12，15 D．5，6，7
- 在下列四组数中，不是勾股数的一组是
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
- 下列各组数中为勾股数的是
A．1，2，3 B．2，3，4 C．，， D．3，4，5
- 在下列各数中，不是勾股数的是
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，15，17 D．8.12.15
核心知识5 利用勾股定理求长度
- 如果3，4，是直角三角形三边长，则的值是
A．5 B． C．5或 D．5或7
- 如图，在中，，平分，若，，则点到的距离是
A．5 B．8 C．10 D．15
- 在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是
A．6 B．8 C．10 D．12
- 如图，在中，，，于点，则的长为
A．10 B．11 C．12 D．13
- 如图，在中，，，，平分，，垂足为，则的周长为
A．25 B．17 C．18 D．20
- 如图，在中，，，，点在上运动，，，为的中点，则的最小值为
A． B． C． D．
核心知识6 利用勾股定理作图
- 根据图形（图1，图的面积关系，下列说法正确的是
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
- 如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，段和垂直于地面的段均由不锈钢管材打造，两段总长度为，矩形为一木质平台的主视图．经过测量得，，请求出立柱段的长度．
核心知识7 勾股定理的证明
【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.
- 如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为
A． B． C． D．
- 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则 ．
核心知识8 勾股定理逆定理的应用
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
- 如图，在四边形中，，，，，．
（1）连接，求的长；
（2）求四边形的面积．
- 如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）证明：是直角三角形．
- 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，，求这块菜地的面积．
核心知识9 勾股定理的实际应用
【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.
- 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯长17米，云梯底部距地面3米的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高的长）？
- 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）求的度数；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
核心知识10 利用勾股定理解折叠问题
- 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．
- 如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．
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