高一数学期末复习同步专题练习-不等式中的恒成立问题探索

不等式中的恒成立问题探索

一、选择题

1．已知，，，，则下列不等式中恒成立的是(     )．

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】选项：若，，，，则，；此时，可知错误；

选项：若，则，可知错误；

选项：，则；若，则，可知错误；

选项：若，根据不等式性质可知，正确.

本题正确选项：

2．若，则下列不等式不恒成立的是(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，由得恒成立．

对于B，由可知恒成立．

对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立．

对于D，由得，所以恒成立．

故选C．

3．已知,下列不等式中成立的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.

故选A.

4．下列命题中，正确的是(   )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】时，若，则，排除；

时，成立，不成立，排除；

时，成立，不成立，排除；

故选D.

5．已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为(    )

A． B．7 C． D．8

【答案】B

【解析】 ，且，

故，整理即，

又均为正实数，故，

又对于任意满足的正实数，均有恒成立，

整理可得恒成立，令，

令，时

所以在上递增，

，因此，

实数的最大值为7，故选B.

6．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【解析】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，

则，

即，

解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

7．已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题得，所以b=4,c=6.

所以.

因为对任意的，恒成立，

所以对任意的，恒成立，

因为y=在[-1,0]上的最大值为4.

所以m≥4.

故选：D

8．在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为　 　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令

因为

即

也就是

在时，，取最大值为6

所以

解得

故选C

9．若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题，因为为一元二次不等式，所以

又因为的解集为R

所以

故选B

10．不等式的解集为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，不等式即，恒成立．

当时，由题意可得，且，解得．

综上，实数的取值范围是，故选C．

11．在R上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：

即：对任意恒成立

设

则（当且仅当，即时取等号）

即    ，即

本题正确选项：

12．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，分两种情况讨论：

①当时，即，

若时，原不等式为，解可得：，

则不等式的解集为，不是空集，符合题意；

若时，原不等式为，无解，不符合题意；

②当时，即，

若的解集是空集，

则有，解可得，

则当不等式的解集不为空集时，

有或且，

综合可得：实数的取值范围为；

故选C．

二、填空题

13．已知，若不等式恒成立，求的最大值为____.

【答案】

【解析】不等式恒成立,则恒成立.

因为，当且仅当时等号成立，

所以，即的最大值为.

14．若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______________

【答案】

【解析】不等式可化为，

令，

则对于，不等式恒成立，等价于，

因为恒成立，所以为上的增函数，

所以，解得，

故答案为.

15．关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由题得，

因为，

所以.

当且仅当x=-1时得到等号.

所以a≥-2.

故答案为：

16．有下面四个不等式：① ；②；③；④．其中恒成立的有______个．

【答案】2

【解析】解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．

②因为，所以②正确．

③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误．

④ab＜0时，不成立.

其中恒成立的个数是2个．

三、解答题

17．已知函数

（1）解不等式；

（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）    或

所求不等式解集为：

（2）当时，可化为：

又（当且仅当，即时取等号）

即的取值范围为：

18．已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】 (1)因为的解集为，

所以关于的方程的两个根为.

所以，解得.

(2)由题意得对任意恒成立，

所以，

解得，即的取值范围是.

19．已知函数，满足 ， ，且函数的值域为 ．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设函数，对任意 ，存在 ，使得 求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据，可得 ．

由函数的值域为 知，方程，判别式 ，即 .

又 ， ，即 ，

解得：， ． 

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为，则当时， 取得最大值为9，

若对任意，存在，使得 ，

即，

即 对任意恒成立．

设 ，则，即，解得 ．

的取值范围是

20．已知函数（a为常数）．

（1）求不等式的解集；

（2）当a＞0时，若对于任意的 [3，4]，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）a＞

【解析】解：（1）不等式化为，即，

①a=0时，不等式变为，解得＜1；

②a＞0时，不等式变为，

若a＞2，则＜1，解得＞1或＜，

若a=2，则=1，解得≠1，

若0＜a＜2，则＞1，解得＞或＜1；

③a＜0时，不等式变为（ -）（ -1）＜0，解得＜＜1；

综上所述， =0时，不等式的解集为（-∞，1）；

0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；

a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；

a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；

a＜0时，不等式的解集（，1）；

（2）由（1）知：①0＜a＜2时，，（-∞，1）∪（，+∞），

需[3，4]⊂（-∞，1）∪（，+∞），

∴＜3，即2＜3a，解得2>a＞；

②a=2时，（-∞，1）∪（1，+∞），符合条件；

③a＞2时，（-∞，）∪（1，+∞），符合条件；

综上所述，符合条件的a的取值范围是a＞．

21．已知函数.

（1）当时，求不等式 的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为，所以.

所以，即，

解得或.

故不等式的解集为.

（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.

因为，所以，

则.

当且仅当，即时，等号成立.

故的取值范围为.