高一期末复习同步专题-数列中的最值问题练习含解析
展开数列中的最值问题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知等差数列的前n项为，且，，则使得取最小值时的n为
A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或7
【答案】B
【解析】解：设等差数列的公差是d，
，，
，即，
，即，
联立得到：，．
故有．
令，可解得，由此知，数列的前6项为负项．
故取最小值时，n等于6．
故选：B．
由题意，可根据，解出数列的公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负项的个数，即可得出取最小值时，n所取的值．
本题考查等差数列的和与通项，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到和的最小值，本题属于基础题，难度较低．
- 已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A. 16 B. 9 C. 5 D. 4
【答案】A
则，
即则的最小值为16．
故选A．
- 等差数列的前n项之和为，已知，，，则，，，，，，中最大的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解：，，，
，，
，，
则，，，，，，中最大的是．
故选C．
- 在数列中，，则此数列最大项的值是
A. 102 B. C. D. 108
【答案】D
【解析】解：对应的抛物线开口向下，对称轴为，
是整数，
当时，数列取得最大值，此时最大项的值为，
故选：D
结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可．
本题主要考查数列最大项的求解，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
- 正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值是
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．
由，求出公比q，，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出的最小值．
解：在等比数列中，，
，
即，
解得或舍去，
，
，
，
，当且仅当，并且时取等号．学_科网
故选D．
- 设，，是与的等差中项，则的最小值为
A. B. 3 C. 4 D. 9
【答案】D
【解析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b的关系是解决本题的关键．
根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可．
解：是与的等差中项，
，
即，
，即．
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为9．
故选D．
- 已知等差数列满足，，，则前n项和取最大值时，n的值为
A. 12或13 B. 13或14 C. 14或15 D. 15或16
【答案】C
【解析】本题考查等差数列的性质和公式的运用，考查运算与推理的能力，属于基础题．
根据是等差数列，可得，，可得和d的关系，带入前n项和中转化为二次函数问题，配方即可求解．
解：由题意，是等差数列，
，，
由，
可得，
．
．
．
可得：．
，
当或15时，前n项和取最大值．
故选C．[来源:学科网]
- 已知数列满足，是数列的前n项和，若，且，则的最小值为
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】解：数列满足，
可得，，，
，，
则，
又，
所以，
由，可得，，
则．
当且仅当时，取得最小值2．
故选：A．
由，结合余弦函数值求和，再由，可得，由，可得，，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
- 设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，中最大的项为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，，由此可得，，，，，，，，再结合，，可得结论本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．
解：等差数列中，，且，即，，
，，，等差数列为递减数列，
故可知，，，为正，，为负；
，，，为正，，，为负，
则，，，，，，，，
又，，最大，
故选：C．
- 已知，则在数列的前30项中最大项和最小项分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
- 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列命题错误的是
A. B.
C. 中的最大项为 D.
【答案】C
【解析】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，利用前n项和公式可得：，，可得，最大即可判断出．
解：，
，
化为：，，
，
．
最大．
．
综上可得：A，B，D正确，只有C错误．
故选C．
- 设等差数列的前n项和为，，，其中且，则数列的前n项和的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，，，
，，
又数列为等差数列，
公差，
，
解得
，
当时，即，
当时，即，
数列的前7项为正数，
数列的前n项和的最大值为．
故选：D
根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．
本题考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和，以及数列的函数的特征和裂项求和，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 设等比数列满足，，则的最大值为______．[来源:学科网ZXXK]
【答案】64
【解析】解：等比数列满足，，
可得，解得．
，解得．
则，
当或4时，表达式取得最大值：．
故答案为：64．
求出数列的等比与首项，化简，然后求解最值．
本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
- 已知是等差数列，其公差，其前n项和记为，且，，则当取最大值时的______．
【答案】8[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【解析】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解：，，
，，
化为，，
即，，
，，
又公差，
数列是单调递减数列，
当取最大值时的，
故答案为8．
- 若等差数列满足，，则当______时，的前n项和最大．
【答案】8
【解析】解：由等差数列的性质可得，
，又，，
等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
等差数列的前8项和最大，
故答案为：8．
可得等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．
本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．
- 已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是______．
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 已知数列的前n项和为，且．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明．
【答案】解：当时，，得，
当时，，得，
数列是公比为3的等比数列，
．
由得：，
又
两式相减得：，
故，
．
【解析】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．学_科网
利用时，即可得出．
利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
- 已知数列的前n项和为，且满足Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求证：．
【答案】解：，
，
解得，
时，，
，
，时也成立，
．
证明：由可得：，
，
，
．
【解析】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与就计算能力．
，可得，解得时，．
由可得：可得，利用“裂项求和”方法即可得出．
- 已知数列的前n项和为，，数列满足 ，点 在直线上．
求数列，的通项和；
令，求数列的前n项和；
若，求对所有的正整数n都有成立的k的范围．
【答案】解：，
，则，
当 时，，
，
，
是首项为，公比为2的等比数列．
因此
因为在直线上，
所以，
而 ，
所以．
解： ，
因此[来源:Z。xx。k.Com]
得：
，
．
证明：由知，
，数列为单调递减数列；[来源:学.科.网]
当时，．
即的最大值为1．
由可得，
而当时， 当且仅当时取等号，
．
【解析】本题考查了数列求和，等差数列的通项公式，错位相减法和不等式恒成立问题．
利用数列求和中的与的关系得，再利用等差数列的通项公式得结论．
利用错位相减法计算得结论．
利用不等式恒成立问题得结论．
- 已知数列满足：，．
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和的取值范围．
【答案】证明：，
常数，
数列是等比数列．
解：由及已知是等比数列，公比，首项为，
，
．
【解析】本题考查了等比数列的判断，等比数列的求和公式，裂项法求和，属于中档题．
递推式两边同时加1即可得出结论；
根据的结论求出，从而得出；
使用裂项法求和，判定的单调性得出范围．
- 已知数列前n项和，点在函数的图象上
求的通项公式；
设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：在函数的图像上，
当时，
得
当时，，符合上式
；
由知，则
，
数列单调递增，
．
要使不等式对任意正整数n恒成立，只要．
，
．
，即．
【解析】，再写一式，即可求的通项公式；
由知，利用裂项法可求，从而可求得，由，可判断数列单调递增，从而可求得a的取值范围．
本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题．
- 已知数列的前n项和为S，且满足S．
证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式．
若b，数列的前n项和为T，求满足不等式的n的最小值．
【答案】证明：当时，，．
，，
当时，，
两式相减得：，即，
，
数列为以2为首项，2为公比的等比数列，
，
则，；
解：，
，
，
两式相减得：，
，
由，得，
设，
，
数列为递增数列，
，，
满足不等式的n的最小值为11．学_科网
本题考查数列递推式，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．
微专题9 数列中的最值、范围问题： 这是一份微专题9 数列中的最值、范围问题，共5页。
微专题9 数列中的最值、范围问题： 这是一份微专题9 数列中的最值、范围问题，共6页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。
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