高三数学简易教学小专题学案之立体几何38 等体积法法求距离

这是一份高三数学简易教学小专题学案之立体几何38 等体积法法求距离，共29页。
《立体几何》专题38-1 等体积法求距离
（7套，8页，含答案）
知识点：
等体积法求距离：
在三棱锥中，求某点到对面的距离，直接作高，比较难，这时可以用等体积法求距离。首先通过换顶点法，求出该三棱锥的体积，然后把该体积乘以3，再除以该点对面的面积即可。也可以列方程求解。

典型例题：
1. 已知正四棱柱中 ，AB＝2，，E为的中点，则直线与平面BED的距离为（ 答案：D；
） （A） （B） （C） （D）1


2. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，且．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离.（用两种方法）（ 【解析】
试题分析：
(1)要证明线面平行，取中点，连结，其中线段BN在面BEC中，根据线面平行的判断，只需要证明线段BN与AM平行即可，根据MN为所在线段的中点，利用中位线定理即可得到MN平行且等于DC的一半，题目已知AB平行且等于DC的一半，则可以得到MN与AB平行且相等，即四边形ABMN为平行四边形，而AM与BN为该平行四边形的两条对边，则AM与BN平行，即得到线段AM平行于面BEC.
(2)题目已知面ABCD与ADEF垂直且ED垂直于这两个面的交线，根据面面垂直的性质定理可得线段ED垂直于面ABCD，再根据线面垂直的性质可得到BC垂直于ED，根据梯形ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到BC与BD垂直，即线段BC与面BED中两条相交的线段ED，BD相互垂直，根据线面垂直的判断即可得到线段BC垂直于面BED
(3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥体积的等体积法，即分别以D点和E点作为顶点求解三棱锥D-BEC的体积，当以E作为顶点时，DE为高，三角形BCD为底面，求出高和底面积得到三棱锥的体积，当D为顶点，此时，高为D到面BEC的距离，而三角形BEC为底面，利用三角形的勾股定理得到BE的长度，求出三角形BEC的面积，利用三棱锥的体积公式即可得到D到面BEC的距离.
试题解析：
（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． 3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥． 4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面． 5分

（2）在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以． 7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以． 8分
所以平面． 10分
（3）解法一：因为平面，所以平面平面． 11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度 12分
在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于. 14分
解法二：平面，所以
所以
12分
又，设点到平面的距离为
则，所以
所以点到平面的距离等于. 14分
考点：勾股定理线面平行，线面垂直等体积法

）




随堂练习1：
1. 在长方体，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离为( C；
) A B C D


2. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.（

）



随堂练习2：
3. 三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，SA＝4，AB＝3，SB＝5，E为AC的中点，∠ABC＝90°，则点E到平面SBC的距离等于（ (理)【答案】C
【解析】在△中，因为，所以△是直角三角形，且．又，，故．故．又，，所以，所以．设点到面的距离为．由 ，得，解得．

）
A． B． C． D．


4. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（ ；（Ⅰ）证，即可。
）






答案：D；答案：； 答案：C；答案：； 答案：C；答案：；
《立体几何》专题38-2 等体积法求距离

1. 如图所示，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是______ ；
________。


2. 如图，四凌锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的点。
（I）证明：PB//平面AEC；
(II)设置AP＝1，AD＝，三棱柱P-ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离。（ 解:(1)连接BD交AC于O点，再连接EO，故有

(2)
作AHPB交PB于H点、


）



3. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，AA1＝6，
点M是BB1中点．
（1）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C；
（2）求点A到平面A1MC的距离．（ 答案：（2）；
只做第二问）



答案：；答案：；答案：；
《立体几何》专题38-3 等体积法求距离

1. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是( B；
) A B C D

2. 已知正三棱柱ABC-的各条棱长都为，P为的中点，M为AB的中点，
（1）求证：AB⊥平面PMC;
（2）求点B到平面PAC的距离.（ （1）证明：连接PM ，CM （1分）
可知
（6分）
（2）解：假设点B到平面PAC的距离:
（8分）
（9分）
（12分）
）


3. 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，
AB＝2AF，∠CBA＝60°．
（1）求证：DM⊥平面MNA；
（2）若三棱锥A-DMN的体积为，求点A到平面DMN的距离．（答案：（2）；
【解析】（1）证明：连接，在菱形中，
∵且，
∴为等边三角形．
∵是的中点，
∴，．
∵平面，平面，
平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵矩形中，，是的中点，
∴为等腰直角三角形，∴，
同理可证，∴，∴．
∵，平面，平面，
∴平面．
（2）设，则，
在中，，，
，∴．

∴．
∵平面，，
平面，∴平面．
设为点到平面的距离，则．
∴，
∵，∴．
作交于点．
∵平面，∴．
∴平面，
即为求点到平面的距离，
∵在中，，，∴．
∴点到平面的距离为．

）




答案：B；答案：；答案：；
《立体几何》专题38-4 等体积法求距离

1. 如图，四边形 ABCD是平行四边形，AB＝1，AD＝2， AC＝，E 是 AD的中点，BE与AC 交于点F ，
GF⊥平面ABCD .
(1)求证： AB ⊥面AFG ；
(2)若四棱锥G－ABCD 的体积为，求B 到平面ADG 的距离.
（ 答案：


）


2. 如图所示，已知正方体ABCD—A1B1ClDl的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．（ 答案：解：＝A1D1·AA1＝．
D1B＝a，D1E＝BE＝＝＝．
等腰△EBD1的高为＝＝．
＝（）（）＝．
设A1到平面BED1的距离为h，而＝，
即·h＝·AB．
∴··h＝··a，解得h＝．

）




3. 如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD.
（Ⅰ）求证：AF⊥面BEG；
(Ⅱ) 若AF＝FG，求点E到平面ABG距离.（ 答案：（2）（3）；
证法1：
∵四边形为矩形，∴∽，
∴ ……………1分
又∵矩形中，，∴
在中，
∴， ……………2分
在中，
∴，即 ……………4分
∵平面，平面 ∴ ……………5分
又∵，平面 ∴平面 ……………6分
证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1．
（2）在中，
在中， ………… ……………8分
在中，，
∴………………………………10分
设点到平面的距离为，则
， ………………………………11分
∴ ………………………………12分

）

答案：；答案：；答案：；
《立体几何》专题38-5 等体积法求距离
1. 已知如图正四面体SABC的侧面积为，O为底面正三角形ABC的中心.
（1）求证：SA⊥BC；
（2）求点O到侧面SBC的距离.（ 答案：解：（1）证明：取的中点，连结，
是等边三角形是的中点
是等边三角形是的中点
，平面平面
平面

（2）解法一：由（1）可知平面
平面，平面平面
平面平面，过点作，则平面
就是点到侧面的距离.
由题意可知点在上，设正四面体的棱长为，
正四面体的侧面积为，，
在等边三角形中，是的中点
，同理可得
为底面正三角形的中心
，
在中，
由
得：
，即点到侧面的距离为.
解法二： 连结，则，由题意可知点在上，
设正四面体的棱长为，
正四面体的侧面积为
，
在等边三角形中，是的中点

为底面正三角形的中心
，
在中，


，设点到侧面的距离为，
由得，
，即点到侧面的距离为.
）


2. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，，，，点、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：面；
（3）求点到平面的距离.（【解析】
试题分析：（1）连接，利用中位线得到，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是先证明，于是得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法二是先证明，得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）利用（2）中的结论平面，结合等体积法得到
，将问题视为求三棱锥的高.
（1）证明：连接，是的中点 ，过点，
为的中点，，
又面，面，平面；
证法一：连结，连接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面；
证法二：连接，在直角中，，，，
设，，，
，即，
，，且，平面，
，又，故平面，
（3）设点到平面的距离为，由（2）知平面，
，，
，
即点到平面的距离为.
考点：1.直线与平面平行；2.直线与平面垂直；3.点到平面的距离；4.等体积法

）；


3. 如图3，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得PH⊥AH，连结PA，PB，PD（如图4）．
（Ⅰ）求证：BD⊥AP；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的高.（ 答案：（2）；
（Ⅰ）证明： ∵、分别是和的中点，
∴EF//BD. （1分）
又∵，∴，
故折起后有. （2分）
又，所以平面． （3分）

又∵平面，∴， （4分）
∵，平面，
∴平面， （5分）
又平面，∴ （6分）
（Ⅱ）解：∵正方形的边长为，
∴，， （7分）
∴是等腰三角形，连结，则，
∴的面积 （8分）
设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为
（9分）
由（Ⅰ）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：
（11分）
∵，即，解得，即三棱锥的高为. （12分）

）
答案：；答案：；答案：；
《立体几何》专题38-6 等体积法求距离
1. 如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离.（ 答案：



）



2. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，
BC∥AD且BC＝4，点M为PC中点．
（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（2）求点P到平面ADM的距离．（ 答案：解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则
∵M是PC中点，∴，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN＝AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP＝AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN⊂平面ADM，
∴平面ADM⊥平面PBC．

（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，
在Rt△PAB中，由PA＝AB＝2，得，
∴．
）


3. 如图1，在直角梯形中，，，， 点 为中点，
将沿折起， 使平面平面，得到几何体，如图2所示.
(1) 求证:；
(2) 在上找一点，使平面；
(3) 求点到平面BCD的距离.（ 解:(1)在图1中，可得，从而，

∵平面平面，面面，面
平面 又面

(2) 取的中点，连结，
在中， ，分别为，的中点
为的中位线

平面
平面
平面
(3) 设点到平面BCD的距离为
平面 又面

三棱锥的高，


）
B
A
C
D
图1
E

A
B
C
D
图2
E



答案：；答案：；答案：2；
《立体几何》专题38-7 等体积法求距离

1. 在如图所示的几何体中， 平面ACE⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为平行四边形，∠CAD＝90°，EF // BC， EF ＝BC，AC ＝，AE＝EC＝1．
（1）求证：CE ⊥AF ；
（2）若三棱锥F －ACD 的体积为，求点D 到平面ACF 的距离．（ 答案：（1）证：∵平面平面，且平面平面，
∵，∴平面　　　　　　　　……………1分
平面，∴，　　　　　　　　　……………2分
又，
∴，
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………3分

即共面 ……………4分
又，∴平面 ……………5分

……………6分

（2）设的中点为，连接，∵，∴
∵平面平面，且平面平面，
∴平面∵平面，
∴点到面的距离等于点到面的距离，即……………7分
　　　　　　　　　　　
　　　　　……………8分

，
，所以　　………9分
，，，
所以 ……………10分

设点到平面的距离为，则， ……………11分

即
所以点到平面的距离　　　　　　　　……………12分
）


2. 如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且.点在圆所在平面上的正投影为点，.
(1)求证:平面；
(2)求点到平面的距离.（ 解析:(Ⅰ)法1:连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，
∴为等边三角形，从而
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，
由得，平面
(注:证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分.)
法2:∵为圆的直径，∴，
∵在中，，
∴由，得，，，，
∴，则，
∴，即
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，
由得，平面
法3:∵为圆的直径，∴，
在中由得，，
∵，由得，，，
由余弦定理得，，
∴，即
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，
由得，平面
(Ⅱ)法1:由(Ⅰ)可知，，
(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分.)
∴
又，，，
∴为等腰三角形，则
设点到平面的距离为，
由得，，解得 [Z、xx、k.Com]
法2:由(Ⅰ)可知，，
过点作，垂足为，连接，再过点作，垂足为
∵平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴平面，故为点到平面的距离
在中，，，
在中，，即点到平面的距离为

）
P
A
B
D
C
O


3. 如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，
平面，点为的中点.
(1)求证:平面；
(2)求证:；
(3)若，求点到平面的距离.（ (1)证明:连接，与相交于点， 连接，
∵是平行四边形，
∴是的中点
∵为的中点，
∴
∵平面，平面，
∴平面
(2)证明:∵平面，平面，
∴
∵，，
∴


∴.
∴
∵，平面，平面，
∴平面
∵平面，
∴
(3)解:取的中点，连接，则且.
∵平面，，
∴平面，
在Rt△中，，，
∵，，
∴.
在Rt△中，.
在△中，，为的中点，
∴.
在Rt△中，.
在Rt△中，.
∴，
设点到平面的距离为，
∵，
∴
即， 解得
∴点到平面的距离为

）
答案：；答案：；答案：；