高三数学简易教学立体几何小专题学案22 垂直证明2：面面垂直性质

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《立体几何》专题22-1  垂直证明2：面面垂直性质（3套4页）知识点：    （注意：以下题目只需要做垂直证明部分，二面角等内容不做。）面面垂直性质：1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________． 2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．答案：（[i] [ii] [iii]） 典型例题：已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（  [iv]   ）  A.3     B.2      C.1     D.0 把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.[v]  （2020年湖北G401理）(12分)如图直三棱柱ABC-A1B1C1 中，截面AB1C1⊥平面AA1B1B.（12分）  
（1）求证：A1B1⊥B1C1
（2）记二面角A-B1C1-A1的大小为，直线AC1与平面A1B1C1所成的角为，试比较与的大小（[vi]）
                          
随堂练习：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是(　[vii]　)      A．①和②     B．②和③    C．③和④     D．②和④ 如图四，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，
且，若E、F分别为PC、BD的中点.
(Ⅰ) EF //平面PAD；
(Ⅱ) 求证：平面PDC⊥平面PAD；（[viii]）                   如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．[ix]

                        （2021年江苏G14扬州）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，四边形是长方形，，，
（1）证明：平面；（[x]）
（2）若，为中点，求二面角的余弦值.
 
《立体几何》专题22-2  垂直证明2：面面垂直性质 如右图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE＝EB＝BC＝2， F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．求证：AE⊥BE；（[xi]）（中下）
  （2020年安徽G801理）(本小题满分12分)如图(1)所示，在△BCD中，AD是BC边上的高，
且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点。现沿AD进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，
得到的图形如图(2)所示。
(Ⅰ)求证：AB⊥CD
(Ⅱ)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值。（[xii]）
  （2020年广州模拟G101）（本小题满分12分）如图所示，有公共边的两个矩形与,现将矩形沿翻折至处，使二面角为直二面角，若
（1）证明：平面 平面；([xiii])
（2）若点在直线上运动，当与所成的角为时，求三棱锥的体积．
      
《立体几何》专题22-3  垂直证明2：面面垂直性质 （2020年G953文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，
，，交于，锐角所在平面底面，，
点在侧棱上，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：.（[xiv]）  （2020年燕博园G201）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．（[xv]）
           [i] 答案：垂直；　交线　a⊥β；[ii] 答案：第一个平面内　a⊂α；[iii] 答案：a∥α；[iv] 答案：B，2、4对；[v] [证明]　⇒⇒平面ABD⊥平面ACD. [vi] 答案：（1）提示：在平面AA1B1B内作A1D⊥AB1，易证B1C1⊥A1D ， B1C1⊥A1A，(3分)从而 B1C1⊥AA1B1B，所以B1C1⊥A1B1 （6分）
 （2）提示：= ∠AB1A1，  =∠AC1A1  8分设AA1=a，AB1=b，AC1=c， 则 a<b<c  于是， 10分  由于，都是锐角，所以  12分[vii] [答案]　D；[viii] （Ⅰ）连结AC，在中证明；（2）证即可。[ix] 答案：证明　 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．[x] 19、（1）证明：∵四边形为长方形，∴，∵，，∴平面                                                 ……………3分∵ ∴.                                 同理，又，∴平面.                                              ……………5分（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分则设为平面的法向量， ∵∴，令，则，
 ∴平面的一个法向量.            ……………8分同理可求得平面的一个法向量，    ……………10分∴.    ∵二面角的大小为钝角∴二面角的余弦值为.          ……………12分注：错将二面角的余弦值写成的扣1分 [xi] （Ⅰ）证，，得，所以AEBE[xii] [xiii] 答案：[xiv] 【解析】（1）如图，连接，因为，，所以，又，所以，又平面， 平面，所以平面. （2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面，又平面，所以.[xv] 答案：解析：（1）证明：取中点为，连接． 是等边三角形，所以．因为且相交于，所以平面，所以．因为，所以．因为在平面内，所以．所以．………… 3分（2）以为原点，过作的平行线，分别以, ，分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系．设，则，，，．………… 5分因为在棱上，可设，所以．设平面的法向量为，因为，所以  令，可得，即．设直线与平面所成角为，所以．可知当时， 取最大值；…………8分（3）设，则有，得．设，那么，所以．所以．因为．．所以．又因为，所以．，设平面的法向量为，有，可得，即         …………10分因为在平面内，所以．所以．所以．即，所以或者（舍），即………………………………………………………12分