高中数学高考专题28 体积法求点面距离(解析版)

这是一份高中数学高考专题28 体积法求点面距离(解析版)，共49页。试卷主要包含了多选题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
【分析】
利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.
【详解】
A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.
B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.
C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.
D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确.

故选：BCD
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.
1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.
2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.
3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.
2．在正方体中，，、分别为、中点，是上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．三棱锥的体积与点位置有关系
C．平面截正方体的截面面积为
D．点到平面的距离为
【答案】AC
【分析】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，根据线面垂直的判定定理，可得平面，进而可得；
B选项，证明平面，即可判定B错；
C选项，补全截面，得到平面截正方体所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；
D选项，根据等体积法，由求出点到面积的距离，即可判定；
【详解】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，
在正方体中，，，
因为、分别为、中点，所以，，
因此，所以，，
因此，因此，即；
又在正方体中，平面，所以平面，
因平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以；故A正确；
B选项，因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有点到平面的距离都相等，
又是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值；故B错；
C选项，取的中点为，连接，，则，且，
则；又正方体中，，所以，，
因此，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
因此该等腰梯形的高为，
所以该截面的面积为；故C正确；
D选项，设点到平面的距离为，
因为平面，所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为，
所以，
在中，，，，
所以，因此，
所以.
又，所以，
即点到平面的距离为，故D错；
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：
求空间中点到面积的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；
（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.
3．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】
由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断C正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D正确.
【详解】
依题意，画图如下：
若为的外心，则，平面，可得，，故，A正确；
若为等边三角形，，又，BC与PB相交于平面内，
可得平面，即，由，，可得 ，故，矛盾，B错误;
若，设与平面所成角为，由A正确，知，设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为， ，即的范围为，C正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得，，，则平面平面，
由平面，可得在线段上，即轨迹，可得D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.
处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.
二、单选题
4．如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设点到平面的距离为，利用建立方程可求解.
【详解】
设点到平面的距离为．
∵正方体棱长为1，
∴，
∴
又，
∴，解得
即点到平面的距离为．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．
5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论错误的选项是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．在底面内的正投影是面积不是定值的三角形
D．在平面内存在无数条与平面平行的直线
【答案】C
【分析】
利用平面，即可证明，即可判断选项A；利用等体积即可求点到平面的距离，即可判断选项B；利用正投影特点即可判断选项C；利用线面平行的性质定理即可判断选项D.
【详解】
对于选项A：由且，，所以平面，因为平面，可得，故选项A正确；
对于选项B：因为点到直线的距离是，，所以
为定值，点到平面距离是，所以三棱体积是，因为三棱锥，为，所以点到平面的距离为，故选项B正确；
对于选项C：线段在底面内的正投影是，所以在底面内的正投影是，因为线段的长是定值，所以线段的长也是定值，所以的面积是定值，故选项C不正确；
多于选项D：设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故选项D正确，
故选：C
【点睛】
方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.
6．正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱的长，利用等体积法求得到平面的距离.
【详解】
设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
由于球的表面积为，故半径，所以侧棱长.在三角形中，，而，所以三角形的面积为.
设到平面的距离为，由得，解得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.
7．如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
结合正四棱锥的性质，利用，代入数据直接计算即可.
【详解】
解：由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，
连接、，设交点为点，连接，则平面，且，
底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，
，
，
设点到平面的距离为，由，即，解得．
故选：A.
【点睛】
本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．
8．已知在正四棱柱中，，，为的中点，则点与平面的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】
先证直线与平面平行，将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，由等积性求出点面距离即可.
【详解】
如图所示，连接交于点，
为的中点， ，又平面，平面
平面，即直线与平面的距离为点到平面的距离，设为.
在三棱锥中，，
在三棱锥中，
，
所以，解得
故选：D.
【点睛】
本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.
9．直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用即可求解.
【详解】
因为三棱柱是直三棱锥，所以平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以平面，
所以，
因为，，，所以平面，
所以，，，
设点到平面的距离为，
则，即，
所以，
所以点到平面的距离为，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.
10．已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线被平面和平面、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】
对①，画出图象，设对角线与平面相交于点，则平面，用等体积的方法计算出，从而证得被平面和平面三等分；对②，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对③，显然；对④，正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分是球的.
【详解】
①如图所示，假设对角线与平面相交于点，
可得平面，所以，
解得，因此对角线被平面和平面三等分，正确；
②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为，，
，因此表面积之比为，正确；
③，不正确；
④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积，正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.
11．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法，即可求出答案．
【详解】
解：设点到平面的距离为，
∵，
由题意，的面积，
在中，易求得，，
∴由余弦定理得，
∴，
∴，
又，即，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题．
三、解答题
12．已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由平面平面，，可得平面，从而得，同理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）由（1）得，，进而可求出，，从而可得，再利用等体积法可求出点到平面的距离
【详解】
（1）平面平面，，
所以平面，故.
同理，平面平面，，
所以平面，故.
故平面.
（2）由（1）可知，，，
由可求得，，，.
，，
，.
三棱锥的体积.
设为点到平面的距离，则，
所以得，故.
所以点到平面的距离为.
【点睛】
关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离的求法，解题的关键是利用等体积法进行转化，从而可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题
13．在多面体中，，，，，，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，通过和证明平面，即得，再由得；
（2）过点作交的延长线于，连接，根据等体积法求出点B到平面DCE的距离，即可求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
解：（1）连接，
在中，，则，
所以，，即，，
又因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，
因为平面，所以，
由，，，且，平面，
所以有平面，
因为平面，所以，
又因为，所以．
（2）过点作交的延长线于，连接，
∵，，∴，
由，可得：
，，
∵，，∴，
∵平面平面，面面，，
∴面，
又∵平面，∴，
∴，∴，∴，
由（1）可知，，
∴，即，
由（1）可知，平面，所以，∴，
∵，∴，∴，即，
可知，
，
，
，
由等体积：，
所以，，则，解得，
设直线与平面所成角为，
则．
【点睛】
关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点B到平面DCE的距离，再由求出.
14．如图，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
要证明AE⊥平面BCE，需要在平面BCE内找两条相交直线都垂直于AE，而易证BF⊥AE，CB⊥AE；
(2)求二面角的余弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得是二面的平面角，在 中求解即可；
(3)求点D到平面ACE的距离，可以转化为求三棱锥D−ACE的高用等体积法求出即可．
【详解】
证明：∵平面，平面平面,∴，
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
又，∴平面，∴，
又平面，，∴平面；
(2)连结、交于，连结，∵为正方形，∴，
∵平面，∴，为二面角的平面角，
由(1)可知，平面，∴，又，，，
在中，，，
在正方形中，，在直角三角形中，
，∴二面角为；
(3)由(2)可知，在正方形中，，
到平面的距离等于到平面的距离，
平面，线段的长度就是点到平面的距离，
即为到平面的距离，∴到平面的距离为.

【点睛】
思路点睛：：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解:
作出二面角的平面角
证明作出的角即为所求二面角的平面角.
（2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解
（3）得出答案.
15．如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由面面垂直的性质可得平面，进而可得，结合平面几何的知识可得，由线面垂直的判定即可得证；
（2）取的中点，连接，，，作于，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.
【详解】
（1）证明：∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
在中，，，，∴，
∵，,平面，
∴平面；
（2）设点到平面的距离为，
取的中点，连接，，，作于，如图，
则．
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∵，，
∴在中，，同理，，
∴是等腰三角形，，
由，
∴，即，
解得，
∴点到平面的距离为．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离.
16．如图，圆柱的轴截面是正方形，点是底面圆周上异于的一点，，是垂足.
（1）证明：；
（2）若，当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明平面；（2）首先确定点的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.
【详解】
（1）由圆柱性质可知，平面，
平面，，
是圆柱底面的直径，点在圆周上，
，又，平面，
平面，，
又，且，
平面，平面，
；
（2），，
当最大时，即最大，即是等腰直角三角形时，
，，，
并且点到平面的距离就是点到直线的距离,
设点到平面的距离为，则
，
解得：
【点睛】
方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.
17．如图，在四棱锥中，，，，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求点以平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理，先证平面平面，进而可证线面平行；
（Ⅱ）根据题中条件，先求出三棱锥的体积，再设点到平面的距离为，根据体积公式，即可求出点到面的距离.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，．
因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为，所以．
又，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
因为，且平面，平面，
所以平面平面；
因为平面，所以平面．
（Ⅱ）因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面距离的．
因为平面，，，
所以平面．所以．
所以．
在中，，，
所以．
设点到平面的距离为，
则，解得．
所以点到平面的距离是．
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.
18．如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，
（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）过A作于点G，则为二面角的平面角，求其正切值即可；
（2）设点E到平面AFC的距离为h，利用等体积法计算即得结果；
（3）作于点H，则为直线FC与平面ABF所成的角，求其正弦值即可.
【详解】
解：（1）过A作于点G，连接FG，
四边形ABCD是菱形，，
为等边三角形，,.
平面ABCD，平面ABCD，，
又， ，平面AFG，-
为二面角的平面角，
；
连接AE，设点E到平面AFC的距离为h，
则， 即，
也就是，
解得：；
(3)作于点H，连接FH，为等边三角形，
为AB的中点，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，平面ABF，
为直线FC与平面ABF所成的角，
．
【点睛】
求空间中二面角的常见方法为：
（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；
（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，求点到平面的距离.
【答案】
【分析】
先求出三棱锥的体积，再根据求解.
【详解】
连结，设点到平面的距离为，
∵，，∴，
从而，，得的面积，
由平面及，
得三棱锥的体积，
∵平面，平面，∴，
又，∴，
由，，得的面积，
由得，
故点到平面的距离等于.
【点睛】
方法点睛：点到平面的距离常见求法：①几何法：作出点到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点到平面的距离，如果已知点到平面的距离，则可以根据求出点到平面的距离；③向量法：已知是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则到平面的距离为.
20．棱长为的正方体中，、分别是棱、中点，求点到平面的距离.
【答案】
【分析】
利用等体积法列方程，解方程求得点到平面的距离.
【详解】
依题意，
∵平面，
∴点到平面的距离即为点到平面的距离，
根据正方体的性质可知，
设点到平面的距离为，
，
即，
即，
即点到平面的距离为.
【点睛】
要求点到平面的距离，可利用等体积法列方程，通过解方程来求得点面距.
21．在棱长为的正方体中求出下列距离：
（1）点到面的距离；
（2）线段到面的距离；
（3）点到面的距离；
（4）到平面的距离.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）利用正方体的性质，即可求得点到面的距离；
（2）利用线面平行的性质，即可求得线段到面的距离；
（3）利用线面垂直的性质，即可求得点到面的距离；
（4）利用等体积法，即可求得到平面的距离.
【详解】
（1）因为正方体，则平面，
所以点到面的距离为边长；
（2）因为平面，且平面，
所以线段到面的距离为；
（3）因为平面，
所以点到面的距离为面对角线的AC的，即；
（4）设到平面的距离为h，三棱锥的体积为V，
在中，，则的面积为，
利用等体积法可得：，
所以
22．如图，四边形是正方形，平面，，且
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明平面；
（2）先证明平面，设点到平面的距离为，利用等体积法得，通过计算即可得.
【详解】
（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以，
又平面，平面，平面，
因为，同理可证平面，
平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）因为平面，∴，平面，又∵，，
∴平面，
∴
又，
设点到平面的距离为
∵
又∵

∴;
∴
即点到平面的距离为
【点睛】
方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.
23．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，设平面的法向量
（1）用表示；
（2）求及的长度；
（3）求点到平面的距离
【答案】（1）；（2）；；（3）.
【分析】
（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得；
（2）由是平面的法向量，得，即可求出，再利用向量的模长公式可求.
（3）由平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即即可求出.
【详解】
（1）连接,，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形，
且，
又为线段中点，
在中，
（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，，
由是平面的法向量，得，即，解得
（3）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离
所以
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
24．如图，在四棱柱中，平面，底面满足且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】
(1)证明，根据得到，得到证明.
(2) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
(3)设点到平面的距离为，运用等体积法，可求得点到平面的距离.
【详解】
(1) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(2)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为，
故.
所以直线与平面所成角的正弦值；
（3）设点到平面的距离为，则，而，
又，，，
所以，所以，
所以.
所以，解得，所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查证明线面垂直，求线面角的正弦值，运用等体积法求点到面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.
25．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，.
（1）求证：平面MPC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）取的中点，连接，，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，.
又因为为的中点，所以，.
所以，，四边形为平行四边形，
所以.
又因为，.
所以，则.
又因为，为中点，所以.
又因为，所以.
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）设点到平面的距离为，
因为，所以.
因为，
，，
所以.
所以，解得.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化为解决本题的关键.
26．如图所示，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M为棱的中点，求点C到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由正三角形性质得，由勾股定理逆定理证，从而得线面垂直；
（2）利用体积法可求得点C到平面的距离．
【详解】
（1）证明：因为，O为AC的中点，所以，且.
如图，连接OB，因为，所以△ABC为等腰直角三角形，且，，
由知，，由，，知平面ABC.
（2）如图所示，因为点M为棱BC的中点，所以在中，，
又平面ABC，在中，，，在中，由余弦定理得，，
则，所以，设点C到平面PAM的距离为d，
由，得，所以，
所以点C到平面PAM的距离为.
【点睛】
本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离．立体几何中求点到平面距离的方法：
（1）作出点到平面的垂线，求出垂线段的长；
（2）在三棱锥中用体积法计算；
（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解．到平面的距离，设是平面的一个法向量，则到平面的距离等于（点可以是平面内的任意一点）．
27．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.
（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，根据（1）的结论，求点E到平面的距离.
【答案】（1）E为的中点；（2）.
【分析】
（1）E为的中点，连接交于点，连接，则，故而平面；
（2）点E到平面距离等于点D到平面距离的倍，由可得答案.
【详解】
（1）E为的中点.
证明：连接，使交于点O，取的中点为E，连接，
∵O，E分别为，的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
（2），
∴，
∴，即菱形为正方形.
又点E到平面距离等于点D到平面距离的倍，
设点E到平面的距离为h，
∴，
解得.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，等体积法求棱锥的高，属于基础题．
28．如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；
（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）存在，.
【分析】
(1) 由和，利用线面垂直的判定定理即证结论；
(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d，再利用正弦等于即得结果；
(3) 先取DC，AB上点N，G使得CN=BG=1，证明平面MNG平面ADE，即得平面ADE，.
【详解】
解：（1） 证明：正方形中，，
又，，平面，所以平面；
（2）设直线BD与平面ADE所成角为，点B到平面ADE的距离d，则.
依题意，，由（1）知平面，得平面平面，故点E到平面的距离，
中，，又，故根据等体积法，得，即，故，故直线BD与平面ADE所成角的正弦值是；
（3），平面，平面，平面，
又平面平面，平面，.
分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，，又NG在平面ADE外，BC在平面ADE内，平面ADE，
取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，，
又，M是CF的中点，故MN是中位线，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE，
因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG，
故此时平面ADE，.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
29．如图：在多面体中，平面，平面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连结，，证明四边形是平行四边形得到，利用直线与平面平行的判定定理证明平面．
（2）首先可证平面，再利用等体积法求出点到平面的距离；
【详解】
解：（1）证明：取的中点，连结，，
是的中点
且
平面，平面
，
四边形是平行四边形
，平面，平面
平面
（2），，
平面
又，，平面，平面
平面，记点到平面的距离为
∴点到平面的距离为
【点睛】
本题考查空间几何体的体积，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的判断与证明，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，属于中档题．
30．如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.
（1）证明：平面.
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由面面垂直的性质定理，可得平面，进而有，再由已知可得，，即可得证结论；
（2）由体积公式，要使三棱锥的体积最大时，为弧的中点，求出，进而求出，用等体积法，即可求解.
【详解】
（1）证明：因为平面平面是正方形，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为点在以为直径的半圆弧上，所以.
又，所以平面.
（2）当点位于的中点时，的面积最大，
三棱锥的体积也最大.
因为，所以，
所以的面积为，
所以三棱锥的体积为.
因为平面，所以，
，
的面积为.
设到平面的距离为，
由，得，
即到平面的距离为
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，空间中垂直的相互转化是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.