专题01 立体几何之向量法与几何法求线线角-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

立体几何之向量法与几何法求线线角

方法一、向量法求线线角

一、解答题

1．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若为的中点，求与所成的角．

2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且.

（1）求点B到平面的距离；

（2）求异面直线BM与PC的夹角余弦.

3．如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，分别在（不包括两端），.

（1）求证：平面；

（2），为中点，求异面直线与所成角的余弦值.

4．如图，在正三棱柱中，，、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与直线所成角的余弦值．

5．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．

（1）求证：平面；

（2）平面与所成角的大小；

（3）在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角的余弦值为，求的长．

6．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成夹角的正切值；

（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长.

7．已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，．

（1）用，，表示及求；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

8．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N和P分别是，BC和的中点.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线AN与PM所成角的余弦值.

9．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

10．如图，长方体中，，，点为的中点．

（1）求证：直线∥平面

（2）求：异面直线与所成的角的余弦值．

方法二、几何法求线线角

1．如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，侧面是等边三角形，，点P在平面上的射影恰是线段的中点E．求：

（1）二面角的大小；

（2）异面直线与所成角的余弦值．

2．已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

（3）求异面直线与所成角的余弦值；

3．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

4．四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．

（1）若为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值．

5．如图，直三棱柱所有棱长都相等，D是的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

6．如图，是正方体，、分别为、上的点，且.

（1）当三棱推的体积最大时，求二面角的正切值；

（2）求异面直线与所成的角的取值范围.

7．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小.

8．如图，在四棱锥中，面，，为线段上的点.

（1）证明：平面；

（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值；

（3）在（2）的条件下求异面直线与所成角的余弦值.

9．如图所示的几何体中，底面ABEF是等腰梯形，，矩形ABCD所在平面与底面ABEF垂直，且，O是AB中点.

（1）求证：平面BCF；

（2）若M是CF上一点，当平面ADF时，求异面直线OM与CE所成角的余弦值.

10．如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使______，点，分别为，中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①.②为四面体外接球的直径.③平面平面.

（1）判断直线与平面是否垂直，并说明理由；

（2）求直线和所成的角的余弦值.

11．如图，三棱柱中，平面，，，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

12．在四棱锥中，底面为正方形，为的重心.

（1）设，若∥平面，求实数的值；

（2）若平面，且，求异面直线与所成的角.

13．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，其中，平面，分别是的中点.

（1）求证：直线平面;

（2）求异面直线与所成角的大小.

14．在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

15．如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）．平面交于点，于点．

（1）设，将长表示为的函数；

（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）