山东省东阿县第三中学2021-2022学年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知地球上海洋面积约为361 000 000km2，361 000 000这个数用科学记数法可表示为(     )

A．3.61×106 B．3.61×107 C．3.61×108 D．3.61×109

2．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是(  )

A．90° B．30° C．45° D．60°

3．有一个数用科学记数法表示为5.2×105，则这个数是（　　）

A．520000 B． C．52000 D．5200000

4．下列运算正确的是（　　）

A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．（）﹣1=2 C．x+y=xy D．x6÷x2=x3

5．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为(       )

A．8    B．6    C．4    D．2

6．﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣2 D．2

7．下列计算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．若代数式，，则M与N的大小关系是（   ）

A． B． C． D．

9．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是(      )

A．70° B．65° C．60° D．55°

10．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）

A． B． C．. D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为_____．

12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．

13．袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是_____．

14．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．

15．分解因式：a2b+4ab+4b=______．

16．一组数：2，1，3，，7，，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为、，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“3”是由“”得到的，那么这组数中表示的数为______.

17．已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为_______________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．

19．（5分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.1．）

20．（8分）如图，在中，，平分，交于点，点在上，经过两点，交于点，交于点.

求证：是的切线；若的半径是，是弧的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）.

21．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，－3)，C(1，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S

关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

22．（10分）如图，已知是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径.

23．（12分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）

24．（14分）如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.

求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

解答：解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×1．

故选C．

2、C

【解析】
根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，

∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠EFC=45°.

故选：C.

【点睛】

本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故 为等腰直角三角形.

3、A

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

5.2×105=520000，

故选A．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4、B

【解析】

分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.

详解：A. （a﹣3）2=a2﹣6a+9,故该选项错误；

B. （）﹣1=2，故该选项正确；

C.x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误；

D. x6÷x2=x6-2=x4，故该选项错误.

故选B.

点睛：可不是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.

5、A

【解析】

试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．

故选A．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

6、B

【解析】
根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．

【详解】

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．

7、D

【解析】
根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．

【详解】

A、（2a）3=8a3，故本选项错误；

B、a3+a2不能合并，故本选项错误；

C、a8÷a4=a4，故本选项错误；

D、（a2）3=a6，故本选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．

8、C

【解析】

∵，

∴，

∴.

故选C.

9、B

【解析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．

【详解】

∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，

∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，

∴∠AA′C=45°，

∵∠1=20°，

∴∠B′A′C=45°-20°=25°，

∴∠A′B′C=90°-25°=65°，

∴∠B=65°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．

10、B

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

考点：轴对称图形和中心对称图形

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、 (x﹣1)(x﹣2)

【解析】
根据方程的两根，可以将方程化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．

【详解】

解：已知方程的两根为：x1＝1，x2＝2，可得：

（x﹣1）（x﹣2）＝0，

∴x2+bx+c＝（x﹣1）（x﹣2），故答案为：（x﹣1）（x﹣2）.

【点睛】

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）

12、．

【解析】
如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论.

【详解】

如图，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD=ED，DE∥CF，

设ED=x，则CD=x，AD=12-x，

∵DE∥CF，

∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴x=，

故答案为.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．

13、

【解析】

解：列表如下：

所有等可能的情况有4种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率=．故答案为．

14、1

【解析】
将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．

【详解】

∵x+y=8，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=1．
故答案为：1．

【点睛】

本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．

15、b（a+2）2

【解析】
根据公式法和提公因式法综合运算即可

【详解】

a2b+4ab+4b=.

故本题正确答案为.

【点睛】

本题主要考查因式分解.

16、－9.

【解析】
根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.

【详解】

解：根据题意，得：，.

故答案为：－9.

【点睛】

本题考查了有理数的运算，理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键.

17、8

【解析】
根据题意作出图形即可得出答案,

【详解】

如图，AD＞AB，△CDE1，△ABE2，△ABE3，△BCE4，△CDE5，△ABE6，△ADE7，△CDE8，为等腰三角形，故有8个满足题意得点.

【点睛】

此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）4；（2）详见解析.

【解析】
（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果

（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.

【详解】

解：（1）∵a＝2，b＝﹣1

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝1+（﹣2）﹣2+7

＝4

（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7

＝2m2﹣4m+2

＝2（m﹣1）2

∵（m﹣1）2≥0

∴“如意数”c为非负数

【点睛】

本题考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2的非负性，难度不大．

19、建筑物AB的高度约为5.9米

【解析】
在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度；

【详解】

在Rt△CED中，∠CED=58°，

∵tan58°=，

∴DE= ，

在Rt△CFD中，∠CFD=22°，

∵tan22°= ，

∴DF= ，

∴EF=DF﹣DE=－，

同理：EF=BE﹣BF= ，

∴＝－，

解得：AB≈5.9（米），

答：建筑物AB的高度约为5.9米．

【点睛】

考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

20、（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得∠ADO=∠CAD，即可证明OD//AC，进而可得∠ODB=90°，即可得答案；（2）根据圆周角定理可得弧弧弧，即可证明∠BOD=60°，在中，利用∠BOD的正切值可求出BD的长，利用S阴影=S△BOD-S扇形DOE即可得答案.

【详解】

（1）连接

∵平分，

∴，

∵ ，

∴，

∴，

∴OD//AC，

∴，

∴

又是的半径，

∴是的切线

（2）由题意得

∵是弧的中点

∴弧弧

∵

∴弧弧

∴弧弧弧

∴

在中

∵

∴

.

【点睛】

本题考查的是切线的判定、圆周角定理及扇形面积，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都定义这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握相关定理及公式是解题关键.

21、（1）   

时，S最大为

（1）（－1，1）或或或（1，－1）

【解析】

试题分析：（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．

（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；

（1）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合，即可得出结论．

试题解析：解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（－1，0），B（0，－1），C（1，0）三点代入函数解析式得：

解得，所以此函数解析式为：．

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，），

∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×1×（-）+×1×（-m）-×1×1=-（m+）2+，

当m=-时，S有最大值为：S=-．

（1）设P（x，）．分两种情况讨论：

①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ，

∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值，

又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．

由PQ=OB，得：|-x-（）|=1

解得： x=0（不合题意，舍去），-1， ，∴Q的坐标为（－1，1）或或；

②当BO为对角线时，如图，知A与P应该重合，OP=1．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=1，Q横坐标为1，代入y=﹣x得出Q为（1，﹣1）．

综上所述：Q的坐标为：（－1，1）或或或（1，－1）．

点睛：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．

22、4

【解析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点，则直线为的中垂线，直线过点，在Rt△OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．

【详解】

作于点，则直线为的中垂线，直线过点，

，，

，

即，

.

【点睛】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

23、5.5米

【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可.

【详解】

解：过点C作CD⊥AB于点D，

设CD=x，

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD=x.

在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x.

由题意得，x﹣x=4，

解得：.

答：生命所在点C的深度为5.5米.

24、 (1)证明见解析；（2）四边形BDCF是矩形，理由见解析.

【解析】

(1)证明：∵CF∥AB，

∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．

(2)四边形BDCF是矩形．

证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，

∴四边形BDCF为平行四边形．

∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．

∴四边形BDCF是矩形．