2021-2022学年山东省德州市宁津县中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．

C． D．

3．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．（a2）3=a5 C． =3 D．2+=2

5．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（   ）

A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°

C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°

6．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（　　）

A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4

8．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连结AE，若∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）

A．44° B．53° C．72° D．54°

9．某商品价格为元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（    ）

A．0.96元 B．0.972元 C．1.08元 D．元

10．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是(　　)

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟 B．公园离小丽家的距离为2000米

C．小丽在便利店时间为15分钟 D．便利店离小丽家的距离为1000米

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．

12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，cos∠AMC ，则 tan∠B 的值为__________．

13．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．

14．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____．

15．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为__________．

16．不等式组的非负整数解的个数是_____．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　   　；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．

19．（5分）如图，在正方形中，点是对角线上一个动点（不与点重合），连接过点作，交直线于点．作交直线于点，连接．

（1）由题意易知，，观察图，请猜想另外两组全等的三角形          ；             ；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）已知，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

20．（8分）M中学为创建园林学校，购买了若干桂花树苗，计划把迎宾大道的一侧全部栽上桂花树（两端必须各栽一棵），并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，求购买了桂花树苗多少棵？

21．（10分）先化简再求值：，其中，.

22．（10分）某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具体过程如下：

　　收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

整理、描述数据

将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）

　　分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

（1）表格中a的值为______；请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度说明推断的合理性）

23．（12分）如图，在等边△ABC中，点D是 AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．

24．（14分）阅读下面材料，并解答问题．

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）

∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1

∴==+=x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．

解答：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明的最小值为1．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.

【详解】

解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，

∴∠BAD＝∠EBA＝30°，

∴BE∥AD，

∵ 的长为 ，

∴

解得：R＝4，

∴AB＝ADcos30°＝ ，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝BC＝6，

∴S△ABC＝×BC×AC＝××6＝，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面积相等，

∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝

故选：D．

【点睛】

本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.

2、B

【解析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．

【详解】

解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，

故选：B．

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

3、B

【解析】

简单几何体的三视图．

【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．故选B．

4、C

【解析】
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、实数的运算等运算，然后选择正确选项．

【详解】

解：A. a3a2=a5，原式计算错误，故本选项错误；

B. (a2)3=a6，原式计算错误，故本选项错误；

C. =3，原式计算正确，故本选项正确；

D. 2和不是同类项，不能合并，故本选项错误．

故选C.

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方， 实数的运算， 同底数幂的乘法，解题的关键是幂的运算法则.

5、C

【解析】
根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．

【详解】

A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；

B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；

C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；

D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；

故选C．

【点睛】

本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．

6、B

【解析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】

解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

7、B

【解析】

试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.

考点： 平均数；方差.

8、D

【解析】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.

【详解】

根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，

根据∠E=36°可得∠B=54°，

根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.

故选D

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.

9、B

【解析】
提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．

【详解】

第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a元，

第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a元，

∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a元，

故选B．

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．

10、C

【解析】

解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；

B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；

C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；

D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．

故选C．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、8

【解析】

试题分析：过B 点作于点，与交于点，根据三角形两边之和小于第三边，可知的最小值是线的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．

过B 点作于点，与交于点，

设AF=x，，

，

，（负值舍去）．

故BD＋DE的值是8

故答案为8

考点：轴对称-最短路线问题．

12、

【解析】
根据cos∠AMC ，设， ，由勾股定理求出AC的长度，根据中线表达出BC即可求解．

【详解】

解：∵cos∠AMC ，

，

设， ，

∴在Rt△ACM中，

∵AM 是 BC 边上的中线，

∴BM=MC=3x，

∴BC=6x，

∴在Rt△ABC中，，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值的求解问题，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义．

13、1

【解析】
根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．

【详解】

∵a+b＝3，ab＝2，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．

14、1

【解析】
根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值．

【详解】

∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4

∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴

∴点C的坐标为（6，2），

∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上，
∴k=2，

故答案为1．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15、

【解析】
由题中所给条件证明△ADF△ACG，可求出的值.

【详解】

解：在△ADF和△ACG中，

AB=6，AC=5，D是边AB的中点

AG是∠BAC的平分线，

∴∠DAF=∠CAG

∠ADE＝∠C

∴△ADF△ACG

∴.

故答案为.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.

16、1

【解析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．

【详解】

解：

解①得：x≥﹣，

解②得：x＜1，

∴不等式组的解集为﹣≤x＜1，

∴其非负整数解为0、1、2、3、4共1个，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．

17、1．

【解析】

试题分析：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．

考点：旋转的性质．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）.

【解析】
（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；

（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．

【详解】

（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，

∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，

所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）．

【点睛】

本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19、（1）；（2）见解析；（3）存在，2

【解析】
（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；

（2）由（1）可知，则有，从而得到，最后利用一组对边平行且相等即可证明；

（3）由（1）可知，则，从而得到是等腰直角三角形，则当最短时，的面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案．

【详解】

解：（1）四边形是正方形，

，

，

，

，

，

在和中，

在和中，

，

故答案为；

（2）证明：由（1）可知，

，

四边形是平行四边形.

（3）解：存在，理由如下：

是等腰直角三角形，

最短时，的面积最小，

当时，最短，此时，

的面积最小为.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．

20、购买了桂花树苗1棵

【解析】

分析：首先设购买了桂花树苗x棵，然后根据题意列出一元一次方程，从而得出答案．

详解：设购买了桂花树苗x棵，根据题意，得：5(x+11-1)=6(x-1)，  解得x=1．

答：购买了桂花树苗1棵．

点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系以及路的长度与树的棵树之间的关系．

21、8

【解析】
原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．

【详解】

原式==，

当，时，原式=

【点睛】

本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

22、 (1)81;(2) 108人；(3)见解析.

【解析】
（1）根据众数的概念解答；

（2）求出九年级学生体质健康的优秀率，计算即可；

（3）分别从不同的角度进行评价．

【详解】

解：（1）由测试成绩可知，81分出现的次数最多，

∴a=81，

故答案为：81；

（2）九年级学生体质健康的优秀率为：，

九年级体质健康优秀的学生人数为：180×60%=108（人），

答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人；

（3）①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩，且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些．

②因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%），且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些．

【点睛】

本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质，正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键．

23、见解析

【解析】

试题分析:根据等边三角形的性质得出AC=BC,∠B=∠ACB=60°,根据旋转的性质得出CD=CE,∠DCE=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据SAS推出△BCD≌△ACE,根据全等得出∠EAC=∠B=60°,求出∠EAC=∠ACB,根据平行线的判定得出即可.

试题解析:∵△ABC是等边三角形,

∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°,

∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE,

∴CD=CE,∠DCE=60°,

∴∠DCE=∠ACB,即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE,

∴∠BCD=∠ACE,

在△BCD与△ACE中,

,
∴△BCD≌△ACE,

∴∠EAC=∠B=60°,

∴∠EAC=∠ACB,

∴AE∥BC.

24、 (1) =x2+7+ (2) 见解析

【解析】
（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；

（2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．

【详解】

（1）设﹣x4﹣6x+1=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4+（1﹣a）x2+a+b，

可得 ，

解得：a=7，b=1，

则原式=x2+7+；

（2）由（1）可知，=x2+7+ ．

∵x2≥0，∴x2+7≥7；

当x=0时，取得最小值0，

∴当x=0时，x2+7+最小值为1，

即原式的最小值为1．