数学第1章 二次函数综合与测试精品课后测评

二次函数单元测试卷（A卷）

答案解析

一．选择题（30分）

1.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象不可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据、与0的大小关系以及与轴的交点情况即可作出判断．

【解答】解：函数与的图象交于轴上同一点，，

．二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，，，则，

一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；

．二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的左侧，，，则，

一次函数的图象经过二、三、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；

．二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，，，则，

一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；

．二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，，，则，

一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，一致，不交于轴上同一点，符合题意；

故选：．

【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据、与0的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型．

2.已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则的最大值与最小值的和为　　

A．11 B．14 C．17 D．20

【分析】根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，，可得出的最大值是15，最小值是2即可求解．

【解答】解：当直线经过时，

，

解得；

当直线与抛物线只有一个交点时，

，

即，

，

即或（舍去），

的最大值是15，最小值是2，

则的最大值与最小值的和为17，

故选：．

3.抛物线上有两点，，，，若，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C．或 D．以上都不对

【分析】根据二次函数的性质判断即可．

【解答】解：抛物线上有两点，，，，且，

，

或或或，

故选：．

4.下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．

【解答】解：抛物线，

该抛物线的对称轴是直线，

、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；

、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；

、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；

、的对称轴是直线，故该选项符合题意．

故选：．

5.下列对二次函数的图像描述不正确的是　　

A．开口向下 

B．顶点坐标为 

C．与 轴相交于点 

D．当时，函数值随的增大而减小

【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：、，

抛物线的开口向下，正确，不合题意；

、抛物线的顶点坐标是，故本小题正确，不合题意；

、令，则，

所以抛物线与轴的交点坐标是，故不正确，符合题意；

、抛物线的开口向下，对称轴为直线，

当时，函数值随的增大而减小，故本小题正确，不合题意；

故选：

6.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　

A． B． C． D．4

【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．

【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，

方程有两个相等的实数根，

△，

．

故选：．

7.已知二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点和，则下列关于、的大小关系判断正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】先由点和求得二次函数的对称轴，然后根据两点代对称轴的结论即可判断、的大小．

【解答】解：二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，

对称轴为直线，

抛物线经过点和，

点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，

抛物线开口向上，

，

故选：．

8.已知二次函数为非零常数，，图象与轴负半轴的交点在点的上方，有下列结论：

①；

②关于的方程有两个不相等的实数根；

③．

其中，正确结论的个数是　　

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】①由题意可知，，即，即可得出，故①正确；

②由图象与直线的交点情况，即可判断②错误；

③把代入得：，则．根据，可得，利用不等式的性质得出，故③正确．

【解答】解：如图：

①二次函数为非零常数，，图象与轴负半轴的交点在点的上方，

图象开口向上，则，与轴的交点坐标为，，0 ，

该抛物线的对称轴为，

，即，

，故①正确；

②抛物线开口向上，图象与轴负半轴的交点在点的上方，

抛物线与直线有一个交点或两个交点或无交点，

关于的方程实数根的情况无法确定，故②错误；

③把代入得：，

．

，

，

，

，故③正确；

故选：．

9.已知的对称轴为直线，与轴的其中一个交点为，该函数在的取值范围，下列说法正确的是　　

A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值3 

C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4

【分析】由抛物线对称轴为直线及抛物线经过可求出，的值，将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．

【解答】解：图象的对称轴为直线，

，

抛物线经过，

，

将代入得，

解答，

，

，

抛物线顶点坐标为，

时，函数最小值为．当时，为最大值，

故选：．

10.小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为　　

A． B． C． D．

【分析】根据出手点的坐标为求出函数关系式，再令可解得答案．

【解答】解：把代入得：

，

，

，

令得，

解得（舍去）或，

实心球飞行的水平距离的长度为，故选：．

二、填空题(每题4分，共24分)                                                                     

11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有　   　．

①abc＞0

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3

③2a+b=0

④当x＞0时，y随x的增大而减小

答案 ②③．

12．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　   　．

答案 （1+，2）或（1﹣，2）．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+3x与x轴正半轴交于点A，其顶点为P，将点P绕点O旋转180°后得到点C，连结PA、PC、AC，则△PAC的面积为　   　．

、

答案 17

14.二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　 　象限．

解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，

则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．

故答案为：一．

15.若抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则a的值为　 　

解：∵y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，

∴b2﹣4ac＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝0，

解得：a1＝3，a2＝﹣1，当a＝﹣1，则a+1＝0，故舍去．

故答案为：3．

16．如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，                 ．

【解析】由

解得 或

  点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．

 ．

如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于 ，则此时 的周长最小．

设直线 的函数表达式为 ，

则

解得

  直线 的函数表达式为 ．

当 时，，

  点 的坐标为 ．

将 代入 中，得 ．

  直线 与 轴的夹角是 ，

  点 到直线 的距离是 ．

  的面积 ．

三.解答题(共66分)                                                                        

17.（6分） 已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

解：（1）依题意得

∴

∴m＝0；

（2）依题意得m2﹣m≠0，

∴m≠0且m≠1．

18.（8分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），

∴，

解得，

，

即a的值是1，b的值是﹣2．

19.（8分）在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．

【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．

20.（10分）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，

确定，，，的符号；

求证：；

当取何值时，，当取何值时．

解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；根据图象可知，
当时，；当或时，．

21.（10分）抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若点与点在（1）中的抛物线上，且．

①求的值；

②将抛物线在下方的部分沿翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是____________________．

（1）；（2）①7；   ②或．

解：（1）当 时， ，

∴与y轴交于点C（0，-3），

∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，

∴B（3，0）或B（-3，0），

∵点A在点B的左侧，m>0，

∴抛物线经过点B（3，0），

∴，

解得：m=1，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）①∵，

∴抛物线的对称轴为直线 ，

∵点与点在（1）中的抛物线上，且，

∴ ，

∴，

∵，

∴原式 ；

②根据题意，画出图形，如下图，

当 时，根据题意得：点与点在x轴上，此时这个新图象恰好与x轴恰好只有两个公共点；

当 时，直线在x轴上方，翻折后得到的新图象与x轴无交点；

当 时，直线在x轴上方，

由①知抛物线的顶点坐标为 ，

∴当 ，即 时，翻折后得到的新图象与x轴恰好只有两个公共点，

∵点与点在（1）中的抛物线上，

∴ ，

∴；

综上所述，b的取值范围是或．

22.（12分） 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．

（1）试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；并指出当点D在BC上运动（不与B、C重合）时，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

解：（1）△ABD与△DCE相似

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=∠ADE=45°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE

∴=

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y

∴=，y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，

当x=时，y有最小值，最小值为；

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1﹣y，即x﹣x2=x，

∵x≠0，

∴x=﹣1

∴AE=1﹣x=2﹣，

当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，

所以，AE=；

当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；

综上，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．

23．（12分）如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N运动时间为t秒．

（1）求直线AC的解析式；

（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；

（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；

则AE=4﹣3=1，BE=CD=2；

由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；

∴Rt△COD≌Rt△BAE；

∴OD=AE=1，即C（1，2）；

设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得；

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+；

（2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；

∴tan∠CAD=；

∵BN=t，OM=3t，

∴CN=2﹣t，AM=4﹣3t；

∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2﹣t）；

∴PQ=NP﹣NQ=2﹣（2﹣t）=；

设△AMQ的面积为S，则有：

S=（4﹣3t）•=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2），[来源:学,科,网]

∴当t=时，S值最大，且最大值为；

（3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；

QP=，PM=3﹣4t，AP=t+1；

由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：

（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；

∴PM=PA，即3﹣4t=t+1，

解得t=；

（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即：

（t+1）2=（3﹣4t）（t+1），

解得t=，t=﹣1（舍去）；

②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；

QP=，PM=4t﹣3，AP=t+1；

若△PQM与△PQA相似，则有：

（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；

此时M、A重合，

∴≤t≤2；

（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，

即（t+1）2=（4t﹣3）（t+1），

解得t=，t=﹣1（舍去）；

综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．