人教B版高考数学一轮总复习第2章微专题进阶课2函数性质的应用学案

函数性质的应用

函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题．解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

　函数性质的判断

已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)在(0,2)上单调递增

B．f(x)在(0,2)上单调递减

C．f(x)的图像关于直线x＝1对称

D．f(x)的图像关于点(1,0)对称

C　解析：f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，所以f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选项A，B错误．因为f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，所以f(x)的图像关于直线x＝1对称，故选项C正确．因为f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，所以f(x)的图像不关于点(1,0)对称，选项D错误．故选C.

【点评】本题涉及复合函数单调性的判断. 解题的关键是将函数解析式进行等价化简，再根据函数性质的有关结论来判断．

定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)．当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)的一个单调递减区间为(　　)

A．[3,7]   B．[4,5]

C．[5,8]   D．[6,10]

B　解析：依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．

　函数性质的综合问题

已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)

A．－50  B．0  C．2  D．50

C　解析：因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(1－x)＝－f(x－1)．

因为f(1－x)＝f(1＋x)，

所以－f(x－1)＝f(x＋1)，

所以f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0.

又因为f(1－x)＝f(1＋x)，

所以f(x)的图像关于直线x＝1对称，

所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.

又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C.

【点评】本题为函数奇偶性与周期性综合的题目. 解题时先通过等式f(1－x)＝f(1＋x)的奇偶性求出函数的周期，进而求出函数在一个周期的和，再根据周期求和．

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．

　解析：由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

因为f(2|a－1|)>f(－)＝f()，

所以2|a－1|<＝2，所以|a－1|<，所以<a<.