人教B版高考数学一轮总复习第2章第9节函数的应用学案

第9节　函数的应用

一、教材概念·结论·性质重现

1．常见的函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；

(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；

(8)“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0)．

(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．

(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键．

(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．

(4)对于函数f(x)＝x＋(a>0)，当x>0时，在x＝处取得最小值2；当x<0时，在x＝－处取得最大值－2.

2．指数、对数、幂函数性质比较

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)幂函数增长比直线增长更快．( × )

(2)不存在x0，使ax0<x<logax0.( × )

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．( √ )

(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )

2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)＞g(x)＞h(x) 

B．g(x)＞f(x)＞h(x)

C．g(x)＞h(x)＞f(x) 

D．f(x)＞h(x)＞g(x)

B　解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.

3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x 

B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 

D．y＝log2x

D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.

4．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)，一万件商品的售价是20万元．为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)

A．36万件   B．18万件

C．22万件   D．9万件

B　解析：设利润为L(x)，则L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142.当x＝18时，L(x)有最大值．

5．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)

A．减少7.84% 

B．增加7.84%

C．减少9.5% 

D．不增不减

A　解析：设该商品原来价格为a.依题意得，

a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.

考点1　利用函数图像刻画实际问题——基础性

1．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是(　　)

B　解析：由函数图像可判断出该容器的形状不规则，又函数图像的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.

2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)

D　解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.

3．(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

CD　解析：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，A错；由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错；甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，C正确；速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，D正确．

判断实际问题中两变量变化的过程的方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

考点2　已知函数模型解决实际问题——基础性

某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如表：

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)

A．11.5元　　　　　　 B．11元

C．10.5元   D．10元

A　解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.

已知函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知条件利用待定系数法，确定函数模型中的待定系数．

(3)利用函数模型求解实际问题．

1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A．30元   B．60元

C．28 000元  D．23 000元

D　解析： 设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0.故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.

2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)．如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．

3.75　解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式．

联立得方程组

解得

所以p＝－0.2t2＋1.5t－2

＝－＋－2

＝－2＋.

所以，当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．

考点3　构造函数模型解决实际问题——应用性

考向1　二次函数、分段函数模型

(2020·唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式．

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．

解：(1)由题意得，当0<x≤4时，v＝2.

当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，

由已知得

解得

所以v＝－x＋.

故函数v＝

(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，

由(1)得f(x)＝

当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.

所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.

故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

解决分段函数模型问题的注意点

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．

(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．

(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.

考向2　指数(对数)函数模型

(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2022年   B．2023年

C．2024年   D．2025年

C　解析：设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，所以lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，所以2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，所以0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞.又因为n∈N*，所以n≥5，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年．故选C.

(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A．1.2天   B．1.8天

C．2.5天   D．3.5天

B　解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8(天)．故选B.

指数函数与对数函数模型的应用技巧

(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题．

1．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(单位：元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(单位：元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解：(1)当x≤6时，y＝50x－115.

令50x－115＞0，解得x＞2.3.

因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.

当x＞6时，

y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，

结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.

f(x)＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．

(1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级．

(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

解：(1)当声强为10－6 W/m2时，

由公式Y＝10lg，

得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．

(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg，

得10lg＝0.

所以＝1，即I＝10－12 W/m2，

则最低声强为10－12 W/m2.