人教b版高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质微专题进阶课1函数的新定义问题学案含解析

第2章 函数的概念与性质

函数的新定义问题

在函数的概念与表示中，函数新定义问题是一个热点知识，通过函数新定义问题考查阅读理解能力，分析问题、解决问题的能力，也是复习的一个难点．

　概念型新定义函数问题

已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)

＝，那么f2 021(2)的值为(　　)

A．0 B．1 

C．2 D．3

A　解析：因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 021(2)＝f3×673＋2(2)＝f2(2)＝0.

【点评】解答本题的关键是理解新函数fn(x)的含义，并能得出fn(2)的值具有周期性进而求解．

(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)

A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)

B．y＝x＋

C．y＝－log3x

D．y＝

AD　解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．y＝[x]的定义域为R，在定义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”；y＝x＋为定义在[－1，＋∞)上的单调递增函数，故B不可以构造“同值函数”；y＝－log3x为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，故C不可以构造“同值函数”；y＝不是定义域上的单调函数，故D可以构造“同值函数”．故选AD.

　性质型新定义函数问题

(2020·潍坊模拟)已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合An＝{y|y＝f(x)，x∈An－1}．若An∩An－1＝∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y＝f(x)具有性质“φ”．

(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是 ________.

(2)给出下列函数：

①y＝；②y＝x2＋1；③y＝cosx＋2.

其中具有性质“φ”的函数的序号是________．

(1) y＝x＋1(答案不唯一)

(2)①②

解析：(1)对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，符合An∩An－1＝∅.

(2) 对于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|x＞1}，A2＝{x|0<x<1}，…，循环下去，符合An∩An－1＝∅；对于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1＜x＜2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合An∩An－1＝∅；对于③，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2＜x＜3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合An∩An－1＝∅.故选①②.

【点评】(1)理解符号语言的含义是解题的关键，An－1，An分别看成定义域和值域．

(2)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果．

具有性质f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①② B．①③ 

C．②③ D．①

B　解析：对于①，f(x)＝x－，f ＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f ＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，

f ＝

即f ＝

故f ＝－f(x)，满足“倒负”变换．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.