甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

兰州一中2018-2019-1学期高一年级期中考试试题数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{0,1,2,3}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∩B等于

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先进行补集运算，然后进行交集运算即可.

【详解】由补集的定义可得：，

则.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查补集的运算，交集的运算，属于基础题.

2.函数的定义域是

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得函数的定义域.

【详解】函数有意义，则：，解不等式可得：，

据此可得函数的定义域为.

本题选择C选项.

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

3.若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求得集合A,B，然后考查集合之间的关系即可.

【详解】求解指数函数的值域可得，

求解二次函数的值域可得，

则集合A是集合B的子集，且.

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.三个数a＝0.22，b＝log20.2，c＝20.2之间的大小关系是

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c的大小即可.

【详解】由指数函数的性质可得：，，

由对数函数的性质可得，则.

本题选择C选项.

【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

5.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

试题分析：根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）•f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．

解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0

当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0

即f（3）•f（4）＜0

又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数

故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）

故选B

考点：根的存在性及根的个数判断．

6.设2a＝5b＝m，且，则m等于(　　)

A.     B. 10    C. 20    D. 100

【答案】A

【解析】

试题分析：，，又∵m＞0，,故选A.

考点：指数与对数的运算.

视频

7.直线y＝a与曲线有四个交点，则a的取值范围为

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

绘制函数的图像，数形结合即可求得实数a的取值范围.

【详解】绘制函数和函数的图像如图所示，

观察可得，a的取值范围为.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查分段函数图像的画法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力

8.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是

A. y＝x    B. y＝|x－3|    C. y＝2x    D. y＝

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合新定义的知识确定函数的单调性，然后考查所给函数的性质即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，“同族函数”不能是单调函数，考查所给的选项：

A.y＝x单调递增；

B.y＝|x－3|不具有单调性；

C.y＝2x单调递增；

D.y＝单调递减；

据此可知，只有选项B能够被用来构造“同族函数”.

本题选择B选项.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

9.定义运算：，则函数的值域为

A. R    B. (0，＋∞)    C. [1，＋∞)    D. (0，1]

【答案】D

【解析】

【分析】

首先得到函数的解析式，然后结合函数图像确定函数的值域即可.

【详解】由题意可得：，

绘制函数图像如图中实线部分所示，观察可得，函数的值域为.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查指数函数的性质，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，是奇函数，则a＋b的值是

A.     B. 1    C.     D. －1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性求得a,b的值，然后计算a+b的值即可.

【详解】偶函数满足，即：，解得：，

奇函数满足，则，解得：，

则.

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11.已知，(a>0且a≠1)，若，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先确定a的取值范围，然后确定函数图像即可.

【详解】由题意可得：，

由于，故，则，

据此可知函数单调递减，选项AC错误；

当时，单调递减，选项D错误；

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查指数函数的性质，函数图像的辨识等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先确定函数的性质，然后结合函数的单调性确定函数值的大小即可.

【详解】函数满足f(2－x)＝f(x)，则：

，，

当x≥1时，f(x)＝lnx，即函数在区间上单调递增，

由函数的单调性可得：，故.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.幂函数的图象过点，则的解析式是______________．

【答案】

【解析】

【分析】

结合题意求解幂函数的解析式即可.

【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：，解得：，

即的解析式是.

【点睛】本题主要考查幂函数的定义，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14.函数的单调递减区间是______________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求得函数的定义域，然后结合复合函数的单调性求解函数的单调区间即可.

【详解】函数有意义，则：，解得：或，

二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数是定义域内的增函数，

结合复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.

【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15.函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

将原问题转化为求最值的问题，结合二次函数的性质求解实数的取值范围即可.

【详解】原问题等价于在区间上恒成立，

则，结合二次函数的性质可知，当时，，

则实数的取值范围是，表示为区间形式即.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

16.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．

其中错误的对数值是________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合对数的运算法则结合排除法即可求得最终结果.

【详解】由于，故的结果均正确；

，而，故的结果均正确；

，而，

故的结果均正确；

利用排除法可知错误的对数值是.

【点睛】本题主要考查对数的运算法则，排除法求解选择题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，且A∪B＝B，求实数m的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A,B，然后利用集合的包含关系得到关于m的不等式，求解不等式即可求得最终结果.

【详解】由题意得A＝{x|1<x≤2}，B＝(－1，－1＋3m]．

由A∪B＝B，得A⊆B，即－1＋3m≥2，即3m≥3，

所以m≥1.

【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，函数的值域的求解，集合的包含关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18.计算：(1) ；

(2) ．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)由题意结合指数的运算法则和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

(2)由题意结合指数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】(1)原式=

.

(2)原式=

【点睛】本题主要考查指数的运算法则，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.已知不等式的解集为D．

(1)求集合D；

(2)设函数，．求函数的值域．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)利用指数函数的单调性结合二次不等式的解法求解不等式即可；

(2)由题意结合二次函数的性质和对数函数的性质求解函数的值域即可.

【详解】(1)原不等式等价于，解得.

(2)

当时，取最小值，

当时，取最大值，

该函数的值域是.

【点睛】本题主要考查指数不等式的解法，复合函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

【答案】（1）24；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）先求出线段OA的解析式为v=4t，然后把t=10直接代入求出此时的速度，即可求出S（t）的值；（2）先分段求出速度v与时间t的函数函数关系，再分别乘以时间即可求得对应的函数S（t）的解析式；（3）先由分段函数的解析式以及对应的定义域可以求得其最大值，发现其最大值大于650，即可下结论会侵袭到N城，再把S（t）=650代入即可求出对应的t．

试题解析：解：（1）由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，

所以S＝×4×12＝24 km．

（2）当0≤t≤10时，S＝·t·3t＝；

当10<t≤20时，S＝×10×30＋30（t－10）＝30t－150；

当20<t≤35时，S＝×10×30＋10×30＋（t－20）×30－×（t－20）×2（t－20）＝．

综上可知，．

（3）因为当t∈[0，10]时，Smax＝×102＝150<650，

当t∈（10，20]时，Smax＝30×20－150＝450<650，

所以当t∈（20，35]时，令，解得．因为20<t≤35，所以t＝30．

故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．

考点：分段函数的应用．

21.已知是定义在R上的奇函数，当时，．其中且．

(1)求的解析式；

(2)解关于的不等式，结果用集合或区间表示．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)首先利用奇函数的性质求解时函数的解析式，然后将函数的解析式写成分段函数的形式即可；

(2)由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性分类讨论和两种情况求解不等式的解集即可.

【详解】(1)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.

由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，

∵f(－x)＝a－x－1，

∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．

∴所求的解析式为.

(2)不等式等价于或，

即或.

当a>1时，有或，

可得此时不等式的解集为.

同理可得，当0<a<1时，不等式的解集为R.

综上所述，当a>1时，不等式的解集为；

当0<a<1时，不等式的解集为R.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，函数解析式的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22.已知函数的定义域为D，且同时满足以下条件：

①在D上是单调递增或单调递减函数；

②存在闭区间 D(其中)，使得当时，的取值集合也是．那么，我们称函数 ()是闭函数．

(1)判断是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．

(2)若是闭函数，求实数的取值范围．

（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

(1)由题意结合函数的单调性得到区间端点的方程组，求解方程组即可确定满足题意的区间；

(2)由题意利用换元法将原问题转化为函数存在两个不相等的非负实根的问题，据此得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

【详解】(1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；

设存在区间，f(x)的取值集合也是，则，

解得a＝－1，b＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，

使得f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数.

(2) 是在[－2，＋∞)上的增函数，

由题意知，是闭函数，存在区间满足②

即：.即a，b是方程的两根，

令 ，方程可变形为，该方程存在两相异实根满足

，，解得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.