甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1.函数 的定义域为（  ）

A. (0，1)    B. [0，1）    C. (0，1]    D. [0，1]

【答案】B

【解析】

选B.

考点：该题主要考查函数的概念、定义域及其求法.

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2.设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若AB=B，则a的取值范围是(     )．

A. {a|a≥1}    B. {a|a≤1}    C. {a|a≥2}    D. {a|a＞2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根据A∪B=B得到两集合间的关系，再由集合间的关系求得a的取值范围。

【详解】由A∪B=B，得A⊆B，已知A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，故a>2,故选D .

【点睛】求集合中参数的取值范围的关键在于根据已知条件得出集合之间的关系，数形结合得出关于参数的不等式，解不等式即可.

3.下列函数中与y＝x是同一函数的是(    )

    (2)  (3)  (4) (5)

A. (1)(2)    B. (2)(3)    C. (2)(4)    D. (3)(5)

【答案】C

【解析】

【分析】

分别化简求得各函数的定义域和对应法则，定义域和对应法则完全相同，才是同一函数.

【详解】（1），与y=x定义域相同，但对应法则不同；

(2)（a＞0且a≠1），对应法则相同，定义域都为R，故为同一函数；

(3)，对应法则不同；

（4），对应法则相同，定义域都为R，故为同一函数；

（5），对应法则不同，综上，与y=x为同一函数的是(2)(4)，

故选C.

【点睛】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样.

4.下列对应法则中，构成从集合A到集合B的映射的是(     )

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据映射的概念判断.

【详解】对于A选项，在B中有2个元素与A中x对应，不是映射，

对于B选项，在B中没有和A中的元素0对应的象，

对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，

对于D选项，符合映射的概念， 故选D.

【点睛】本题考查了映射的概念，考查了对基本概念理解和灵活应用；映射f：AB有三个特性：存在性，唯一性和封闭性.

5.设a=则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对数函数的图象与性质，采用“中间量”法判断即可.

【详解】 ，故a>b>c,故选B.

【点睛】本题考查了对数值的大小比较，常用方法有：图象法，换底公式转化法，“中间量”法.

6.设U为全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为(     )．

A. M ∩(N∪P)    B. M ∩(P ∩UN)

C. P ∩(UN ∩UM )    D. (M ∩N)∪(M ∩P)

【答案】B

【解析】

试题分析：由已知中的Venn图可得：

阴影部分的元素属于M，属于P，但不属于N，

故阴影部分表示的集合为M ∩（P ∩IN），

考点：Venn图表达集合的关系及运算

7.已知有零点，但不能用二分法求出，则c的值是（     ）

A. 9    B. 8    C. 7    D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二分法的定义，以及二次函数的图象与性质，得△=0，解之可得c.

【详解】函数f（x）=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出，说明此二次函数图象与x轴只有一个交点，即△=36-4c=0 解得c=9，故选A

【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用；能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反.

8.设，则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：因为定义域为,所以，而且都是奇函数，故选A．

考点：幂函数

9.已知，则函数与函数的图象可能是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，再进行判定.

【详解】已知，则lgab=0，即ab=1，

则g（x）=-logbx=logax，f（x）=ax，

根据对数函数和指数函数的图象，若0<a<1，选项中图象都不符合，

若a>1,选项B符合.

故选B

【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的图象，以及对数的运算性质.

10.函数的零点所在的一个区间是   （   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数零点判定定理求解.

【详解】函数f（x）=2x+3x是连续增函数，

∵f（-1）= ,

f（0）=1+0＞0

∴函数的零点在（-1，0）上，故选：B

【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用, 要注意，根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．而且并不是所有的零点都可以用该定理来确定.

11.若A=，则（    ）

A. A=B    B. A    C. A    D. B

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简集合A,B,再判断集合之间的关系.

【详解】的定义域为[-2,2]，易知u=的值域为[0,4]

故的值域为[0,2]

即A=[0,2] ，B=[-2,2] ，易得A，故选C.

【点睛】本题考查了用描述法表示集合，考查了集合的化简与集合间的关系；集合常用的表示方法有列举法，描述法，图示法. 集合{}表示函数的定义域，集合{}表示函数的值域.

12.函数=,则不等式的解集是(   )

A. （    B. [    C. （    D. （

【答案】A

【解析】

【分析】

对x+2≥0, x+2＜0两种情况分别进行求解，再取并集，可求出不等式的解集

【详解】∵不等式x+（x+2）f（x+2）≤5，∴x+2+（x+2）f（x+2）≤7，

当x+2≥0时，f（x+2）=1，代入原不等式得：x+2+x+2≤7⇒-2≤x≤ ；

当x+2＜0时，f（x+2）=-1，代入原不等式得：x+2-x-2≤7⇒0≤7，即x＜-2；

综上，原不等式的解集为（-∞， ]．

故选A .

【点睛】本题考查了分段函数、不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，关键是根据分段函数所划分的区间，进行分类讨论，用函数来构造不等式，进而再解不等式.

二、填空题（本题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 ）

13.________.

【答案】 3

【解析】

【分析】

应用对数的换底公式、对数恒等式及其运算性质进行运算.

【详解】

【点睛】本题考查了对数的换底公式、对数恒等式及其运算性质的基本应用，不同底数的对数式化简计算时，一般先用换底公式转化为同底数的对数式，再应用对数的运算性质进行计算.

14.已知偶函数的定义域为，则______________.

【答案】 6

【解析】

【分析】

根据偶函数的概念，偶函数的定义域关于原点对称，可得m的值，进而通过f(-x)=f(x)求得a的值，再求解.

【详解】由题意可得，且m>,解得m= -2(舍去)，或m=4

由f(-x)=f(x)得=，解得a=1

故=6

【点睛】本题考查了偶函数的概念的应用，函数是偶函数包含两方面含义：定义域关于原点对称，满足关系式f（-x）=f（x）.

15.若集合，则(x,y)=_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合相等的定义及对数的概念，结合集合元素的互异性，求出x，y的值，进而求得 (x,y).

【详解】根据对数的概念，可知x，y都不能等于0，则lg（xy）=0，即xy=1，

若xy=y=1，则x=1，不符合集合中元素的互异性，

若xy==1，则|x|=1，解得x=-1，或x=1（舍去），则y=-1.

故(x,y)=（-1，-1）

【点睛】本题考查了集合相等，考查了集合中元素的性质，关键是理解集合相等的含义.

16.函数(x)=+ax+x-2的图象过定点________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用对数函数恒过点（1，0）的性质，以及y=ax+x-2恒过点（0，-2），求f（x）恒过定点（0，-2）

【详解】∵对数函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）恒过定点（1，0），

∴函数f（x）=loga（x+1）的图象恒过定点（0，0）

一次函数y=ax+x-2=(a+1)x-2（a＞0且a≠1）的图象恒过（0，-2）

∴f（x）=+ax+x-2的图象恒过（0，-2）．

【点睛】本题考查了对数函数图象过定点问题，函数y=loga（x+m）（a＞0，a≠1）的图象恒过（1-m，0）点.

三、解答题：（共6小题，共70分.其中第17题满分10分，其他满分12分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且（A∩B），A∩C＝，求的值

【答案】

【解析】

试题分析：首先求解集合B和C，根据两个集合的元素，以及所给的集合关系的条件判定集合A的元素，将实根代入求解实数，然后再将不同的值回代验证.

试题解析：解. B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|（x－2）（x－3）＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|（x－2）（x＋4）＝0}＝{2，－4}，∵A∩B≠∅，A∩C＝∅，∴3∈A，将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：

a2－3a－10＝0解得a＝5或－2

当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6}＝0＝{2,3}与A∩C＝∅矛盾

当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意

综上a＝－2.

考点：1.一元二次方程实根；2.元素与集合.

18.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;

(2) 判断函数的奇偶性.

【答案】（1） ； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求一次函数解析式.

（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.

【详解】（1）设，

则 ，

所以k=2，b=7，所以f（x）=2x+7

（2）当x<-1时，-x>1,f(-x)=-x-2=-(x+2)=-f(x);

当-1时，-1，f（-x）=0=-f（x）；

当x>1时，-x<-1,f(-x)=-x+2=-(x-2)=-f(x)

综上，x，f(-x)=-f(x)

所以，f（x）为奇函数。

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.

19.已知函数为定义在R上的奇函数，且。

（1）求函数的解析式；

（2）判断并证明函数f（x）在（-1,0）上的单调性。

【答案】（1） ； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数的性质，可知f（0）=0，结合，即可求出a，b，进而得出函数的解析式；

（2）采用函数单调性的定义判断函数f（x）在（-1,0）上的单调性.

【详解】（1） f（0）=b=0，所以b=0，f(1)=，所以a=1 所以f(x)=;

（2）任取（-1,0），且

=

,，所以，

f(x)在（-1,0）上是增函数。

【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用及求函数的解析式，考查了函数的单调性，利用函数的单调性定义证明函数的单调性时，一般步骤是：首先在给定的区间内任取x1，x2，且x1<x2, 然后判断差式的符号，最后根据定义得结论.

20.已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

【答案】或．

【解析】

【分析】

将f（x）转化为顶点式，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合函数单调性，得最小值所对应方程，解方程可得a的值

【详解】函数的表达式可化为．

① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．

②当 ，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴．

③当 ，即时，是最小值，

依题意应有，解得，又∵，∴

综上所述，或．

【点睛】本题考查了二次函数求最值，解题中要注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力.

21.设的最大值和最小值.

【答案】当时，；当时，.

【解析】

【分析】

通过不等式，得出，根据对数函数的单调性，得，

根据对数的运算性质，将f（x）转化为二次函数形式，结合对数函数的单调性，与二次函数的图象和性质，可得函数的最大值与最小值.

【详解】因为

解得.

又.

易知，则=

当时，即时，；当，即时，.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、对数函数的单调性、二次函数的单调性的应用，考查了推理能力和计算能力， 注意整体代入思想的应用.

22.已知函数。

(1)若f(x)在上为增函数，求m的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围。

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）根据复合函数“同增异减”，知t=为减函数，根据对数的概念，知t=>0在(-∞,上恒成立，分类讨论，进而确定m的取值范围 ；

（2）由f（x）的值域为R，得t=值域为（0，+∞），结合二次函数的性质得到关于m的不等式，解不等式即可.

【详解】由题意y=可看成由y=与t=复合而成

由于f(x)在(-∞,上为增函数，根据对数函数的单调性，

所以t=在(-∞,上为减函数，且在(-∞,上恒成立

当m=0时，不符合题意；

当m>0时，要符合题意，应满足且4m-1>0,所以<m；

当m<0时，不符题意；

综上，<m；

（2）由f（x）的值域为R，t=值域为（0，+∞）

当m=0时，t=-2x+3，在x<的值域为（0，+∞），符合题意；

当m>0时，要符合题意，应满足即4-12m；

当m<0时，不符合题意。

综上，.

【点睛】本题考查了对数函数，二次函数的性质，考查复合函数的单调性问题. 对于复合函数y=f[g（x）]，若y=f[g（x）]在某区间上为增函数.则y=f（u）与u=g（x）在相应区间内同为增函数或同为减函数.