高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理随堂练习题

课时跟踪检测（一）  空间向量及其线性运算

1．在空间四边形OABC中，＋－等于(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．

C.    D．

解析：选C　＋－＝＋＋＝，故选C.

2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A．＝3－2－

B．＋＋＋＝0

C．＋＋＝0

D．＝－＋

解析：选C　∵＋＋＝0，

∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．

3．[多选]判断下列各命题正确的是(　　)

A．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

C．两个有公共终点的向量，不一定是共线向量

D．有向线段就是向量，向量就是有向线段

解析：选BC　A．不正确，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；B.正确；C.正确，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；D.不正确，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

4．如果向量，， 满足||＝||＋||，则(　　)

A．＝＋   B．＝－－

C．与同向  D．与同向

解析：选D　∵||＝||＋||，

∴A，B，C共线且点C在AB之间，

即与同向．

5．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则 ＝(　　)

A．＋＋

B．＋＋

C．＋＋

D．＋＋

解析：选D　如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋，故选D.

6．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝________.

解析：法一：＋－＝(＋)－＝－＝.

法二：＋－＝＋(－)＝＋＝.

答案：

7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.

解析：＝＋

＝＋(＋)

＝c＋(－＋)

＝a－b＋c.

答案：a－b＋c

8．已知空间向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a与b共线，则实数k的值为________．

解析：因为c，d不共线，所以c≠0，且d≠0.

由a与b共线知，存在λ∈R使a＝λb成立，

即kc＋d＝λ(c－k2d)，

整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0，

所以解得k＝λ＝－1.

答案：－1

9.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3).

解：(1)∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

(2)∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

(3)∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋

＝－a＋＝a＋b＋c.

10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与， 共面．

证明：∵＝－，

＝＋＝－，

＝＝(＋)，

∴＝－

＝(＋)－

＝(－)＋(－)

＝＋，

∴与，共面．

1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形  B．空间四边形

C．等腰梯形 D．矩形

解析：选A　∵＋＝＋，∴＝.

∴∥且||＝||.

∴四边形ABCD为平行四边形．

2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　 )

A．＋2＋2   B．－3－2

C．＋3－2   D．＋2－3

解析：选C　因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由图可知x＝3，y＝－2，故选C.

3.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为__________．

解析：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝.

答案：

4.如图所示，在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中．

(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；

(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．

解：(1)－－＋＋＋

＝＋＋＋＋＋

＝＋＋0

＝＋＝.

作出如图所示：

(2)＋＋＋＋

＝＋＋＋＋＝＋＋

＝0＝.

作出如图所示：

5．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．

证明：如图，过B1作l3∥l1，取点C2∈l3且BC＝B1C2，取CC2的中点P1.

因为＝，＝，

所以＝2，＝2.

因为A，B，C及A1，B1，C1分别共线，

所以＝λ＝2λ，＝μ＝2μ.

于是＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)＝(2λ＋2μ)＝λ＋μ.

因此，，共面．故M，N，P，Q四点共面．

6.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．

(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．

证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，

∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.

由题意知四边形MNQR是平行四边形，

∴＝＋＝(－)＋(－)

＝(－)＋(－)

＝(＋)．

又＝－＝－＝.

∴＝＋，

由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．

(2)平行．证明如下：

由(1)得＝，∴∥，

∴∥平面ABCD.

又＝－＝－＝，

∴∥.即EF∥平面ABCD.

又∵EG∩EF＝E，

∴平面EFGH与平面ABCD平行．