江苏省南京外国语学校2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学试卷解析版

江苏省南京外国语学校2020—2021学年第一学期第一次月考

高一数学试卷

2020．10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．下列命题为真命题的是

   A．xZ，1＜4x＜3                 B．xZ，15x＋1＝0

   C．xR，x2﹣1＝0                 D．xR，x2＋x＋2＞0

2．集合A＝，则A的非空真子集的个数是

   A．62             B．126            C．254            D．510

3．已知a，b，cR，则下列命题中正确的个数是

①若ac2＞bc2，则a＞b；      

②若，则；

③若a＞b＞c＞0，则；

④若a＞0，b＞0，a＋b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．

   A．1              B．2              C．3              D．4

4．若实数a，b满足a≥0，b≥0且ab＝0，则称a与b互补．记(a，b)＝，那么(a，b)＝0是a与b互补的

   A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

   C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

5．集合A＝，B＝，若BCA，则满足条件的集合C的个数是

   A．8              B．7              C．4              D．3

6．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，己知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

   A．80元           B．120元          C．160元          D．240元

7．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则的最大值为

   A．             B．             C．4              D．8

8．已知，则的值是

   A．15             B．12             C．16             D．25

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是

A．x＝10时费用之和有最小值          B．x＝45时费用之和有最小值

C．最小值为850万元                 D．最小值为360万元

10．有限集合S中元素的个数记做card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是

A．AB＝的充要条件是card(AB)＝card(A)＋card(B)

B．AB的必要条件是card(A)≤card(B)

C．AB的充分不必要条件是card(A)≤card(B)﹣1

D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)

11．设a，b，c都是正数，且，那么

   A．  B．   C．      D．

12．对任意A，BR，记AB＝，并称AB为集合A，B的对称差．例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AB＝{1，4}．下列命题中正确的是

   A．若A，BR，且AB＝B，则A＝

   B．若A，BR，且AB＝，则A＝B

   C．若A，BR，且ABA，则AB

   D．存在A，BR，使得AB＝AB

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．命题“xR，”的否定为       ．

14．设集合A＝，B＝，则A(B)＝       ．

15．若a，b是方程的两个实数根，则的值是       ．

16．若对任意xR，不等式恒成立，则实数a的取值范围是            ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

（1）化简：（a＞0，b＞0）；

（2）先化简，再求值．已知，，求的值．

18．（本小题满分12分）

已知关于x的不等式的解集为M．

（1）当a＝4时，求集合M；

（2）若3M且5M，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知x＞0，y＞0，2xy＝x＋4y＋a．

（1）当a＝6时，求xy的最小值；

（2）当a＝0时，求的最小值．

21．（本小题满分12分）

（1）已知m＞0，n＞0，．求的值；

（2）若，，用a，b表示．

22．（本小题满分12分）

已知关于x的不等式(aR)．

（1）若的解集为，求实数a，b的值；

（2）求关于x的不等式的解集．

江苏省南京外国语学校2020—2021学年第一学期第一次月考

高一数学试卷解析与考点分析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．下列命题为真命题的是

   A．xZ，1＜4x＜3                 B．xZ，15x＋1＝0

   C．xR，x2﹣1＝0                 D．xR，x2＋x＋2＞0

【答案】D    

【考点】逻辑用语判断命题真假

2．集合A＝，则A的非空真子集的个数是

   A．62             B．126            C．254            D．510

【答案】 B   

【考点】集合的运算：求非空真子集个数

3．已知a，b，cR，则下列命题中正确的个数是

①若ac2＞bc2，则a＞b；      

②若，则；

③若a＞b＞c＞0，则；

④若a＞0，b＞0，a＋b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．

   A．1              B．2              C．3              D．4

【答案】 C  

【考点】不等式的基本性质应用

4．若实数a，b满足a≥0，b≥0且ab＝0，则称a与b互补．记(a，b)＝，那么(a，b)＝0是a与b互补的

   A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

   C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

【答案】 C    

【考点】条件的判断与基本应用

5．集合A＝，B＝，若BCA，则满足条件的集合C的个数是

   A．8              B．7              C．4              D．3

【答案】 C   

【考点】集合的运算：子集的应用

6．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，己知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

   A．80元           B．120元          C．160元          D．240元

【答案】  C   

【考点】不等式的实际问题

7．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则的最大值为

   A．             B．             C．4              D．8

【答案】  B

【考点】 对数的运算与基本不等式的综合应用

8．已知，则的值是

   A．15             B．12             C．16             D．25

【答案】  A

【考点】指数式的运算

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是

A．x＝10时费用之和有最小值          B．x＝45时费用之和有最小值

C．最小值为850万元                 D．最小值为360万元

【答案】 BD          

【考点】不等式的实际问题应用

10．有限集合S中元素的个数记做card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是

A．AB＝的充要条件是card(AB)＝card(A)＋card(B)

B．AB的必要条件是card(A)≤card(B)

C．AB的充分不必要条件是card(A)≤card(B)﹣1

D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)

【答案】   AB    

【考点】集合的新定义问题：集合的运算应用

11．设a，b，c都是正数，且，那么

   A．  B．   C．      D．

【答案】  AD       

【考点】指数的运算与应用

12．对任意A，BR，记AB＝，并称AB为集合A，B的对称差．例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AB＝{1，4}．下列命题中正确的是

   A．若A，BR，且AB＝B，则A＝

   B．若A，BR，且AB＝，则A＝B

   C．若A，BR，且ABA，则AB

   D．存在A，BR，使得AB＝AB

【答案】  ABD

【考点】集合的新定义问题：集合的运算应用

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．命题“xR，”的否定为       ．

【答案】 xR，

【考点】命题的否定

14．设集合A＝，B＝，则A(B)＝       ．

【答案】  (3，4)

【考点】集合运算：交集、补集

15．若a，b是方程的两个实数根，则的值是       ．

【答案】 12 

【考点】对数的运算与韦达定理综合

16．若对任意xR，不等式恒成立，则实数a的取值范围是            ．

【答案】  (，1]

【考点】不等式的恒成立问题

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

（1）化简：（a＞0，b＞0）；

（2）先化简，再求值．已知，，求的值．

【考点】指数的运算：化简、求值

【解答】17．解：(1)

=ab-1—(a2b3)6÷(ab4)+|—a|

=ab-1—ab-1+a

=a；

(2)，

因为，则，

则原式=

=，

∵，∴原式=.

18．（本小题满分12分）

已知关于x的不等式的解集为M．

（1）当a＝4时，求集合M；

（2）若3M且5M，求实数a的取值范围．

【考点】高次不等式的解法、集合与元素的关系

【解答】解：(1)当a＝4时，原不等式可化为，即(4x-5)(x2-4)<0，因式分解，得(4x-5)(x+2)(x-2)<0，由穿针引线法可得，

则M=.

(2)由题意3∈M，5M，所以，

当时，此时，则，即，

∴实数a得取值范围为.

19．（本小题满分12分）

已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．

【考点】用集合的思想解命题的条件问题

【解答】解：由题意，命题p对应得集合为A=[-1，5]，

命题q对应得集合为B=[1-m，1+m]，

(1)若p是q的充分条件，则AB，即[-1，5][1-m，1+m]，

所以1-m≤-1且1+m≥5，解得m≥4，即m的取值范围为[4，+∞).

(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，

此时命题q对应得集合为B=[-4，6]，

则p真q假或p假q真，

所以①当p真q假时，x∈[-1，5]，且x∈(-∞，-4)∪(6，+∞)，则此时无解；

②当p假q真时，x∈(-∞，-1)∪(5，+∞)，且x∈[-4，6]，

则x∈[-4，-1)∪(5，6]，

综上所述，x的取值范围为[-4，-1)∪(5，6]

20．（本小题满分12分）

已知x＞0，y＞0，2xy＝x＋4y＋a．

（1）当a＝6时，求xy的最小值；

（2）当a＝0时，求的最小值．

【考点】基本不等式的应用：用等式内部应用基本不等式、1的代换方法求最值

【解答】解：（1）当a＝6时，2xy=x+4y+6≥，

∴，解得，

∴xy≥9，当且仅当x=4y且2xy=x+4y+6（x>0，y>0），即时取等号，

则xy的最小值为9；

（2）当a＝0时，2xy=x+4y，则，

所以

，当且仅当时取等号，

∴的最小值为．

21．（本小题满分12分）

（1）已知m＞0，n＞0，．求的值；

（2）若，，用a，b表示．

【考点】对数式的化简变形运算

【解答】解：（1）因为，

所以，

则，

所以，所以，

则，所以，解得，

所以=；

（2）由题意18b=5，所以，则.

22．（本小题满分12分）

已知关于x的不等式(aR)．

（1）若的解集为，求实数a，b的值；

（2）求关于x的不等式的解集．

【考点】三个“二次”的关系、含参二次不等式的解法(分类讨论思想应用)

【解答】解：(1)由题意可知方程的一个根为1，且a<0，

∴a+3=0，解得a=-3，此时不等式可化为，

其解集为，对比可得.

(2)由题意可将不等式化简为，

因式分解，得，

则①当a=0时，不等式可化简为，解得x<1；

②当a>0时，不等式可化简为,解得；

③当-1<a<0时，不等式可化简为，解得；

④当a=-1时，不等式可化简为，解得x≠1；

⑤当a<-1时，不等式可化简为,此时.

综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}；

当a>0时，不等式的解集为；

当-1<a<0时，不等式的解集为；

当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}；

当a<-1时，不等式的解集为.