江苏省南京市建邺区河西外国语学校2020-2021学年高一第一学期月考数学试卷（10月份）（解析版）

这是一份江苏省南京市建邺区河西外国语学校2020-2021学年高一第一学期月考数学试卷（10月份）（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{2，3}D．{1，3，4}
2．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|﹣3＜x＜1}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜3}
3．（5分）下列说法正确得是（ ）
A．任一集合必有真子集
B．任一集合必有子集
C．若A∩B＝∅，则A、B至少有一个空集
D．若A∩B＝B，则A⊆B
4．（5分）设x＞0，y＞0，且x+y＝18，则xy的最大值为（ ）
A．80B．77C．81D．82
5．（5分）“x2﹣3x+2＞0”是“x＜1或x＞4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2abB．C．D．
7．（5分）如果集合A＝{x|ax2+4x+1＝0}中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0B．4C．0 或4D．不能确定
8．（5分）已知A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|a≤x≤2a﹣1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
二、多项选择（每题5分，共20分，全对得5分，不全得3分，选错得0分）
9．（5分）下列哪些对象能形成一个集合（ ）
A．身材高大的人
B．比2大的数
C．直角坐标系上的横纵坐标相等的点
D．面积较大的矩形
10．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的可能取值（ ）
A．0B．3C．D．﹣1
11．（5分）下列四个命题中，其否定是假命题的有（ ）
A．有理数是实数B．有些四边形不是菱形
C．∀x∈R，x2﹣2x＞0D．∃x∈R，2x+1为奇数
12．（5分）不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．x≥0B．x＜0或x＞2C．x＜﹣D．x≤﹣或x≥3
三、填空题：（每题5分，共20分）
13．（5分）∃x∈R，x2+2x+3≤0的命题否定 ．
14．（5分）已知x＞0，当x＝ 时，x+的最小值为4．
15．（5分）某校学生参加物理课外小组的有20人参加，数学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则这个班得学生总人数是 ．
16．（5分）若x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则a的取值范围是 ．
四、解答题：（17题10分，18-22题每题12分共70分，请在答题卡内作答，解答写出对应文字说明、证明过程或解题步骤）
17．（10分）在实数范围内解下列不等式．
（1）3x2﹣x﹣4＞0；
（2）≤1．
18．（12分）已知A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m+1}．
（1）当m＝2时，求A∩B；
（2）若B∪A＝A，求m的取值范围．
19．（12分）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0．
（1）若不等式的解集为（﹣，1），求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
20．（12分）某印刷品，其排版面积（矩形）为432cm2，它的左、右两边都留有4cm的空白，上、下底部都留有3cm的空白，问：排版长、宽设计成多少厘米时，用纸最省？并求出此时的纸的面积？
21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
22．（12分）已知命题p：∀x∈R，x2+2mx+3＞0，命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．
2020-2021学年江苏省南京市建邺区河西外国语学校高一（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：A∩B＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，
故选：C．
2．【分析】先求对应方程的实数解，再写出不等式的解集
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的实数解为
x1＝﹣1、x2＝3；
∴不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为
{x|﹣1＜x＜3}．
故选：D．
3．【分析】可知空集没有真子集，从而判断选项A错误；B显然正确；根据交集和空集的定义即可判断C错误；根据交集和子集的定义即可判断D错误．
【解答】解：A．空集没有真子集，∴该选项错误；
B．任一集合是其自身的子集，∴该选项正确；
C．A∩B＝∅说明A，B没有公共元素，得不出A，B至少有一个空集，∴该选项错误；
D．若A∩B＝B，则B⊆A，∴该选项错误．
故选：B．
4．【分析】根据基本不等式处理即可．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
所以18＝x+y，
所以xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时等号成立，
故选：C．
5．【分析】通过解二次不等式求出x2﹣3x+2＞0的充要条件，通过对x＜1或x＞4的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到“x2﹣3x+2＞0”是“x＜1或x＞4”的一个必要不充分条件．
【解答】解：x2﹣3x+2＞0的充要条件为x＜1或x＞2，
∵x＜1或x＞4⇒x＜1或x＞2，
但x＜1或x＞2不能推出x＜1或x＞4．
∴“x2﹣3x+2＞0”是“x＜1或x＞4”的必要不充分条件
故选：B．
6．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错误
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
∵ab＞0
∴
故选：D．
7．【分析】利用a＝0与a≠0，结合集合元素个数，求解即可．
【解答】解：当a＝0时，集合A＝{x|ax2+4x+1＝0}＝{﹣}，只有一个元素，满足题意；
当a≠0时，集合A＝{x|ax2+4x+1＝0}中只有一个元素，可得△＝42﹣4a＝0，解得a＝4．
则a的值是0或4．
故选：C．
8．【分析】根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，a＞2a﹣1；B≠∅时，，解出a的取值范围即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|a≤x≤2a﹣1}，若A∪B＝A，则B⊆A，
∴①B＝∅时，a＞2a﹣1，解得a＜1；
②B≠∅时，，解得a＞3，
∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
故选：B．
二、多项选择（每题5分，共20分，全对得5分，不全得3分，选错得0分）
9．【分析】直接由集合中元素的确定性逐一核对四个命题中的自然语言，由元素是否确定加以判断．
【解答】解：对于A，身材高大的人不是确定的，原因是没法界定什么样的人为身材高大，故A不能构成集合；
对于B，比2大的数是确定的，故B能构成集合；
对于C，因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，所以C能构成集合；
对于D，面积较大的矩形，也是不确定的，故D不能构成集合．
故选：BC．
10．【分析】根据A∪B＝A，建立条件关系即可求实数m的值．
【解答】解：由题意：集合A＝{﹣1，3}，B＝{x|ax＝1}，
∵B⊆A
当B＝∅时，B⊆A满足题意，此时ax＝1无解，可得a＝0．
当B≠∅时，则方程ax＝1有解，即x＝，
要使B⊆A，则需要满足：＝﹣1或 ＝3，
解得：，a＝﹣1或a＝，
所以a的值为：0或﹣1或 ．
故选：ACD．
11．【分析】写出命题的否定，判断真假即可．
【解答】解：有理数是实数的否定是：有些有理数不是实数，是假命题．
有些四边形不是菱形的否定是：所有的四边形都是菱形，是假命题．
∀x∈R，x2﹣2x＞0的否定是：∃x∈R，x2﹣2x≤0，是真命题．
∃x∈R，2x+1为奇数的否定是：∀x∈R，2x+1都不是奇数，是假命题．
故选：ABD．
12．【分析】求出不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：解不等式2x2﹣5x﹣3≥0，得：x≥3或x≤﹣，
故不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是：
x＜0或x＞2，
故选：B．
三、填空题：（每题5分，共20分）
13．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定．
【解答】解：命题p：∃x∈R，x2+2x+3≤0，则命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x+3＞0，
故答案为：∀x∈R，x2+2x+3＞0．
14．【分析】利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵x＞0，
∴x+＝4，当且仅当x＝2时，x+的最小值为4．
故答案为：2．
15．【分析】画出对应的韦恩图即可求解．
【解答】解：根据题意画出图形，
故这个班学生总人数：15+10+10+15＝50．
故答案为：50．
16．【分析】由x+≥a恒成立可知（x+）min≥a恒成立，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由x＞1可得x﹣，
因为x+＝x+＝，
当且仅当x﹣即x＝1+时取等号，
因为x+≥a恒成立，
所以a．
故答案为：（﹣]
四、解答题：（17题10分，18-22题每题12分共70分，请在答题卡内作答，解答写出对应文字说明、证明过程或解题步骤）
17．【分析】（1）不等式化为（x+1）（3x﹣4）＞0，求出解集即可；（2）不等式化为≥0，求出解集即可．
【解答】解：（1）不等式3x2﹣x﹣4＞0可化为（x+1）（3x﹣4）＞0，
解得x＜﹣1或x＞，
所以该不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；
（2）∵≤1，∴≤0，
即≥0，解得：x＞3或x≤，
故不等式的解集是（﹣∞，]∪（3，+∞）．
18．【分析】（1）当m＝2时，求出集合A，B，由此能求出A∩B．
（2）由B∪A＝A，得B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m+1，当B≠∅时，，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝2时，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤5}．
∴A∩B＝{x|3≤x≤5}．
（2）∵A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m+1}．
B∪A＝A，
∴B⊆A，
当B＝∅时，m+1＞2m+1，解得m＜0，
当B≠∅时，，
解得0≤m≤2．
∴m的取值范围是{m|m≤2}．
19．【分析】（1）由题意可得﹣和1是2kx2+kx﹣＝0 的两个实数根，由韦达定理求得k的值．
（2）由题意可得k＝0，或 ，由此求得k的范围．
【解答】解：（1）若关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0 的解集为（﹣，1），
则﹣和1是2kx2+kx﹣＝0 的两个实数根，由韦达定理可得﹣×1＝，
求得k＝．
（2）若关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0解集为R，则 k＝0，或 ，
求得k＝0或﹣3＜k＜0，
故实数k的取值范围为（﹣3，0]．
20．【分析】设排版长、宽分别为xcm，ycm，由题意可得xy＝432，x＞0，y＞0，则此印刷品的面积为S＝（x+8）（y+6），变形后运用基本不等式，可得所求最小值，此时x，y的值．
【解答】解：设排版长、宽分别为xcm，ycm，
由题意可得xy＝432，x＞0，y＞0，
即有x＝，
则此印刷品的面积为S＝（x+8）（y+6）＝（+8）（y+6）＝480+8（y+）
≥480+8×2＝768，
当且仅当y＝18，x＝24，上式取得等号，
即排版长为24cm，宽为18厘米时，用纸最省，
此时的纸的面积为768cm2．
21．【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用当且仅当a＝b时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：求出S′＝0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
【解答】解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）
由题意可知：∵∴∴
∴
由SAMPN＞32得，
∵x＞2
∴3x2﹣32（x﹣2），即（3x﹣8）（x﹣8）＞0（x＞2）
解得：
即AN长的取值范围是
（2）解法一：∵x＞2，
∴
当且仅当，即x＝4时，取“＝”号
即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．
解法二：∵∴
令S'＝0得x＝4
当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0
当x＝4时，S取极小值，且为最小值．
即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．
22．【分析】（1）p为真命题，则不等式x2+2mx+3＞0在R范围恒成立，即判别式△＜0．
（2）q为真命题，则不等式x2﹣2mx+m+2＜0在R上能成立，即判别式△＞0，
（3）根据题意，m的范围为（1）和（2）中m 的并集．
【解答】解：（1）若命题p：∀x∈R，x2+2mx+3＞0为真命题，
则方程x2+2m﹣3＝0的判别式△＝（2m）2﹣12＜0，
解得﹣＜m＜．
（2）若命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0为真命题，
则方程x2﹣2mx+m+2＝0的判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，
解得m＜﹣1或m＞2．
（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则﹣＜m＜或m＜﹣1或m＞2，
∴m＜或m＞2