2020-2021学年10.2 事件的相互独立性同步训练题

专题10.2 事件的相互独立性

知识储备

1．事件的关系与运算

2．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为 1 .

(3)不可能事件的概率为 0 .

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，

则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝1－P(B)．

3.随机事件的独立性

一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．

4.n个事件相互独立

对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．

5．独立事件的概率公式

(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．

6.常用结论

（1）从集合的角度理解互斥事件和对立事件

几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

（2）概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

（3）概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

相互独立事件与互斥事件的区别

（4）相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·全国高二课时练习）当时，若，则事件与（    ）

A．互斥 B．对立

C．独立 D．不独立

【答案】C

【解析】，，

即，，事件与独立.故选：C.

2．（2020·湖北高二期中）一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】记每次摸出白球为事件A，每次摸出黑球为事件B，则

，，

两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球，

其对立事件为两次摸到的都是白球，

两次摸到的都是白球概率为，

所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为，故选：B

3．（2020·福建龙岩市·高二期中）若，为互斥事件，，，则（    ）

A．0.1 B．0.3

C．0.4 D．0.7

【答案】B

【解析】，为互斥事件，

.故选：B.

4．（2020·云南丽江市·丽江第一高级中学高二期中）抽查件产品，设“至少抽到件次品”为事件，则的对立事件是（    ）

A．至多抽到件正品 B．至多抽到件次品

C．至多抽到件正品 D．至多抽到件正品

【答案】B

【解析】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，

事件“至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”与“至少抽到件次品”能同时发生，不是对立事件；

只有事件“至多2件次品”与“至少抽到件次品” 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是的对立事件， 故选：．

5．（2020·北京丰台区·高二期中）已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中，则事件与事件（    ）

A．是互斥事件，不是独立事件

B．不是互斥事件，是独立事件

C．既是互斥事件，也是独立事件

D．既不是互斥事件，也不是独立事件

【答案】B

【解析】因为，

所以，，，

所以事件与事件不是互斥事件，

所以，，

所以，所以事件与事件是独立事件.故选：B.

6．（2019·奈曼旗实验中学高二期末（理））甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是（    ）

A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04

【答案】C

【解析】至少有1人达标的对立事件是一个人也没达标，概率为，

所以三人中至少有一人达标的概率为.故选：C

7．（2020·北京海淀区·101中学高二期末）如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（    ）

A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729

【答案】B

【解析】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率，

开关3正常工作的概率，

故该系统正常工作的概率,

所以该系统的可靠性为.故选：B.

8．（2020·广东佛山市·高三月考）2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A､B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】两家机构都不能够研究出“新冠”疫苗的概率为，

至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为，故选：C.

二、多选题

9．（2020·山东潍坊市·高三月考）（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为

【答案】ACD

【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中模出一个红球”为事件，

则，，且，独立；

在A中，2个球都是红球为，其概率为，A正确；

在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；

在C中，2个球中至少有1个红球的概率为，C正确；

2个球中恰有1个红球的概率为，D正确.故选：ACD．

10．（2020·湖北黄石市·黄石二中高三月考）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（    ）

A． B．

C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件

【答案】BCD

【解析】甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，

对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；

对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；

故选：BCD．

11．（2020·福建省武平县第一中学高二月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件

【答案】BD

【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，

所以，故B正确；

同理，

所以，故AC错误；故选：BD

12．（2020·江苏连云港市·赣榆一中高一月考）下列说法错误的有（    ）

A．将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为

B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件

C．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，两球都是白球的概率为

D．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件

【答案】ABD

【解析】（1）对于A，将A，B，C，D四个人平均分成两组，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD，6种情况，“A，B两人恰好在同一组”的有一种，故“A，B两人恰好在同一组”的概率为，故A错误；

（2）对于B，因为6既是3的倍数，也是2的倍数，所以向上的点数是6的的时候两个事件同时发生，故不是互斥事件，故B错误；

（3）对于C，两球都是白球的概率为，故C正确；

（4）对于D，当取到的两个球是一白一黑时，事件“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生，故不是互斥事件，故D错误；

故答案为：A，B，D

三、填空题

13．（2020·全国高二课时练习）已知独立，且，则_____．

【答案】

【解析】因为独立，所以．故答案为：

14．（2020·北京朝阳区·高二期末）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响.那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是___________.

【答案】

【解析】购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响.

因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖，

所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为

，故答案为：

15．（2020·安徽省太和中学高二开学考试（文））北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．

【答案】

【解析】记3个社团分别为，依题意甲参加社团的概率为，乙参加社团的概率为，所以甲和乙都参加社团的概率为，

同理可得甲和乙都参加社团的概率为，甲和乙都参加社团的概率为，

所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为.故答案为：.

四、双空题

16．（2020·全国高一专题练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________.

【答案】A与B、A与C，B与C、B与D    B与D.   

【解析】由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件.

综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件.

在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件，

故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D.