高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时教案设计

《6.4.3余弦定理、正弦定理》

 第2课时  正弦定理  教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：

正弦定理是学生在已经系统学习了用余弦定理解三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。

1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养；

2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养。

1.重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。

2.难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？

2.探索交流，解决问题

【问题1】　如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？

【提示】　＝＝＝c.

【问题2】　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？

【提示】　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

（二）正弦定理

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝。

拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.

2.正弦定理的变形形式　

设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(4)＝＝＝.

【思考1】正弦定理的主要功能是什么？

提示　实现三角形中边角关系的互化.

【思考2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？

提示　不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

【做一做】1.在△ABC中，下列等式总能成立的是(　　)

A.acos C＝ccos A     B.bsin C＝csin A

C.absin C＝bcsin B    D.asin C＝csin A

解析　由正弦定理易知，选项D正确.

答案　D

2.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.

答案　A

3.已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________.

解析　因为＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2.

答案　2

（三）典型例题

1.已知两角及一边解三角形

【例1】　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.

解　根据正弦定理，得a＝＝＝10.

又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

所以b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋).

【类题通法】1.正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.

2.解决已知两角及一边类型的解题方法：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．

【巩固练习1】　在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.

解　因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，

由正弦定理＝，得b＝＝＝，故所求的最短边长为.

2.已知两边及一边的对角解三角形

【例2】　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c.

解　由正弦定理＝，知sin A＝＝，

∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝＝＝；

当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝＝＝.

故当A＝60°时，C＝75°，c＝；当A＝120°时，C＝15°，c＝.

【类题通法】已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.

【巩固练习2】已知在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，解此三角形.

解　由正弦定理，得sin C＝＝＝，

又c>a，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝－1.

3.判断三角形形状

【例3】　已知在△ABC中，bsin B＝csin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．

解　由正弦定理＝＝＝2R得sin A＝，sin B＝，sin C＝.

∵bsin B＝csin C，∴b·＝c·，∴b2＝c2，∴b＝c.

∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴()2＝()2＋()2，

∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，

∴△ABC为等腰直角三角形．

【类题通法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：

(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；

(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.

【巩固练习3】(1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形；

(2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形.

解析　(1)由正弦定理＝，得＝.

又acos B＝bcos A，所以＝，

所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，

即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0，

∵A，B是三角形内角，

所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.

(2)由正弦定理＝，得＝.

又acos A＝bcos B，所以＝，

所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，

所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，

∵A，B为三角形内角，

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

答案　(1)等腰　(2)等腰或直角

（四）操作演练  素养提升

1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)

A.   B.   C.   D.1

2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)

A.4   B.2   C.   D.

3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是(　　)

A.直角三角形    B.等腰三角形

C.锐角三角形    D.钝角三角形

4.在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________.

答案 1.B    2.B   3. 　A   4.　60°或120°

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第48页  练习     第1，2，3题

          第52 页   习题6.4 第7,10题