人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时教学设计

《6.4.3余弦定理、正弦定理》

 第3课时   余弦定理、正弦定理应用举例     教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：

学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。 学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题,培养数学建模的核心素养；

2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，提升数学运算的核心素养。

1.重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。

2.难点：能将实际问题转化为解三角形问题。

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.

【问题】　8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？

【提示】　对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.

（二）余弦、正弦定理应用举例

1.实际应用问题中的专用名词与术语：

（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

3.三角形的面积公式：

(1)在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则

①S＝aha＝bhb＝chc；

②S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.

(2)三角形面积公式的其他形式：

①S△ABC＝，其中R为△ABC的外接圆半径；

②S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C，其中R为△ABC的外接圆半径；

③S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径；

④S△ABC＝，其中p＝.

拓展：三角形中有关边和角的常用性质：

(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；

(2)在△ABC中，a>b⇔A>B⇔sin_A>sin_B；

(3)在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.

(4)在△ABC中，A为锐角⇔cos A>0⇔a2<b2＋c2；A为直角⇔cos A＝0⇔a2＝b2＋c2；A为钝角⇔cos A<0⇔a2>b2＋c2.

【做一做】 1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)

A．α＞β　　　B．α＝β      C．α＋β＝90°   D．α＋β＝180°

2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)

A．北偏东15°方向上　　　　 B．北偏西15°方向上

C．北偏东10°方向上   D．北偏西10°方向上

【答案】1.B   2.B

（三）典型例题

1.测量距离问题

【例1】 如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.

解　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.

在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，

在△CBD中，由正弦定理得BC＝＝2sin75°＝.

在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，

∴AB2＝()2＋－2×××cos 75°

＝5＋－(3＋)()

＝5，

∴AB＝.故两目标A，B间的距离为千米.

【类题通法】求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：

(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.

(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.

【巩固练习1】　某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)

A.15 km    B.30 km

C.15 km    D.15 km

解析　设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C处，如图所示.

∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，

∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.

在△ABC中，由正弦定理，可得AC＝＝×＝15.

即船与灯塔的距离是15 km.故选A.

答案　A

2.测量高度问题

【例2】　在平地上有A、B两点，点A在山坡D的正东，点B在山坡D的东南，而且在A的南偏西15°，且距A为150 m的地方，在A处测山坡顶C的仰角为30°，求山坡的高度．

解  如图所示，在△ADB中，AB＝150，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°－15°＝75°，

∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.

由正弦定理得＝，

得AD＝＝＝150.

在Rt△ACD中，∵＝tan 30°，

∴CD＝AD·tan 30°＝150×＝150.

∴山坡的高度为150米．

【类题通法】对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可．

【巩固练习2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.

解　如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，设CD＝x m，

则AE＝(x－20) m，

∵tan 60°＝，∴BD＝＝＝x m.

在△AEC中，x－20＝x，解得x＝10(3＋)m.

故山高CD为10(3＋)m.

3.测量角度问题

【例3】　某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

解  如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，则AB＝10t，CB＝10t，由题意得∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°，

在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，

可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°

整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．

所以舰艇需1小时靠近渔船．此时AB＝10，BC＝10，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

所以sin ∠CAB＝＝＝.

又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.

所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.

答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时．

【类题通法】求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：

(1)明确各个角的含义；

(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；

(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.

【巩固练习3】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

解　设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，

则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.

∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6，

∴BC＝，

∵＝，∴sin ∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

∵＝，∴sin ∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.

4.三角形中的面积问题

【例4】 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积.

解　设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，

在△CAD中，由余弦定理可知：cos ∠CAD＝＝. 解得x＝1.

在△CAD中，由正弦定理可知：＝，

∴sin C＝·＝4＝，

∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×4×5×＝.

所以△ABC的面积为.

【类题通法】三角形面积计算的解题思路：

对于此类问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：

(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．　

【巩固练习4】（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　)

A．12         B．      C．28    D．6

（2）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)

A．       B．5      C．6    D．7

（3）在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________．

解析（1）在△ABC中，由余弦定理可得

64＝49＋9－2×7×3cos C，

所以cos C＝－，所以sin C＝，

所以S△ABC＝absin C＝6.

（2）连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.

在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，

知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，

所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.

（3）由S△ABC＝bcsin A＝csin 60°＝，得c＝4，

因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝.

答案：（1）D   （2）5   （3）

（四）操作演练  素养提升

1.海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)

A.10 n mile    B. n mile

C.5 n mile    D.5 n mile

2.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)

A.10 m    B.5 m

C.5(－1) m    D.5(＋1) m

3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.

4.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)

A．75°      B．60°        C．45° D．30°

答案 1.D   2.D    3. 45°   4.　B

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第51页  练习     第1，2，3题

          第53 页   习题6.4 第8,9,14题