高中数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案设计

《6．4.2 向量在物理中的应用举例》

  教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：

前几节课已经学习了平面向量的基本定理、坐标表示、数量积及向量在几何中的应用，这些内容都为本节课所要学的知识奠定基础。

1. 会用平面向量知识解决简单的物理问题的两种方法-----向量法和坐标法，培养数学建模的核心素养；

2.体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用，提升数学运算的核心素养。

1.重点：用向量方法解决物理问题的基本方法“四步曲”。

2.难点：能够将物理问题转化为平面向量问题。

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

结合下列情境思考问题．

问题1　图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？

提示　两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.

问题2　向量的数量积与功有什么联系？

提示　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

2.探索交流，解决问题

【思考】如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？

提示　力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.

（二）向量在物理中的应用

利用向量方法解决物理问题的基本步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

【做一做】1.若向量1＝(2，2)，2＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)

A.(0，5)  B.(4，－1)

C.2   D.5

解析　|F1＋F2|＝|1＋2|＝|(2，2)＋(－2，3)|＝|(0，5)|＝5.

答案　D

2.作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加F3＝________.

解析　由题意知，F1＋F2＋F3＝0，

∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4).

答案　(－3，－4)

（三）典型例题

1.力与速度的合成与分解问题

例1.（1）在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

（2）一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m， 一艘船从A处出发到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1 min) ？

解　（1）如图，两根绳子的拉力之和＋＝，

且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.

在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，

从而||＝||·cos 30°＝150(N)，

||＝||·sin 30°＝150(N)，

所以||＝||＝150(N).

答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

（2）解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方  

向行驶时，船的航程最短，

如图，设，则

此时，船的航行时间

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min

【类题通法】利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.

【巩固练习1】（1）一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1）．求三个力的合力。

解析：因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，

所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)。

（2）一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.

解析：如图，用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，

则v＝v1＋v2为船的实际航行速度．

由图知，||＝4，||＝8，则∠AOB＝60°.

又|v2|＝2，∴|v1|＝|v2|·tan 60°＝2.

即河水的流速是2 km/h.

答案：2

2.向量的数量积在物理中的应用

例2.质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8 N/kg)

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，

如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0；

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J).

【类题通法】物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.

【巩固练习2】已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)

A.7   B.10   C.14   D.70

解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.

答案　D

（四）操作演练  素养提升

1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)

A.6   B.2   C.2   D.2

解析　由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，

∴|F3|＝2.

答案　C

2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)

A.v1－v2    B.v2－v1

C.v1＋v2    D.|v1|－|v2|

解析　由题易知，选项C正确.

答案　C

3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.

解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，∴每根绳子的拉力都为10 N.

答案　10

4.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.

解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，

∴|v实际|＝＝＝16(km/h).∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).

∴该船到达B处所需的时间为3 min.

答案　3

答案：1.C   2. C  3.10   4.3 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第41页  练习     第1，2，3题

         第52 页   习题6.4  第4,5,13,14题