高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》

 教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：

引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示。

 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养；

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，培养数学抽象的核心素养；

3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，提示数学运算的核心素养

1.重点：掌握两数乘向量的坐标运算法则，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法。

2.难点：理解用坐标表示两向量共线的条件。

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：

贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).

晶晶：502×4＝2 008(km).

可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.

2.探索交流，解决问题

【探究1】　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

【提示】　横纵坐标均不为0时成比例.

【探究2】如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

【提示】　能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.

【设计意图】通过复习共线向量定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

（二）平面向量数乘运算的坐标表示

1.【探究1】已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？

[提示]2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；

3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．

平面向量数乘运算的坐标表示：

已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．

【做一做】1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A.(－23，－12)    B.(23，12)

C.(7，0)    D.(－7，0)

解析：由3a－2b＋c＝0，

∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，

∴c＝(－23，－12).

答案：A

2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.

解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).

答案：(5，7)

2.【探究2】如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？

[提示]若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.　　

平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)

共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

【辩一辩】1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(×)

2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(×)

3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(√)

【做一做】下列向量与a＝(1,3)共线的是(　　)

A．(1,2)　   B．(－1,3)     C．(1，－3)   D．(2,6)

答案：D

2.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于(　　)

A．－3      B．3         C．1 D．－1

解析：因为a与b共线，则－3x－3×3＝0，解得x＝－3.

答案：A

3.中点坐标公式

若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，

则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

【做一做】已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.

解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).

答案：(－1，3)

【设计意图】通过探究让学生掌握向量的数乘的坐标表示，培养数学运算的核心素养。

（三）典型例题

1.向量数乘运算的坐标表示

例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，试求a＋3b,3a－2b＋c.

解析：因为a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，

所以a＋3b＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，

3a－2b＋c＝3(1,2)－2(3，－4)＋(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)．

【类题通法】向量坐标的线性运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

【巩固练习1】（1）已知的坐标，求的坐标。

（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求 ＋2，－ 的坐标．

解析：（1）.

（2）∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，

∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，

－＝(－8,4)－(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．

2.平面向量共线的坐标运算

例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

解析：法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．

由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得解得k＝λ＝－.

当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．

法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(10，－4)，

∵ka＋b与a－3b平行，

∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，

解得k＝－.故ka＋b与a－3b反向．

【类题通法】根据向量共线求参数值的方法：

根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

【巩固练习2】（1）已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.

（2）若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.

解析：（1）因为a∥b，所以 4y－2×6＝0   解得y＝3 .

（2）　∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝，

又0<α<，故α＝.　

答案：（1）3   （2）

3.向量共线的判定及解决点共线问题

例3.如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．

解析：∵A，B，C三点共线，即，共线，

∴存在实数λ，使得＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)．

于是∴m＝－2.

故m＝－2时，A，B，C三点共线．

【类题通法】三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．

【巩固练习3】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设||＝1，则||＝1，||＝2.

∵CE⊥AB，而AD＝DC.∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，

＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴＝，∴∥，即DE∥BC.

(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，

∴M(0，)，∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，

＝(1,0)－(0，)＝(1，－)，∴＝－，∴∥.

又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．

（四）操作演练  素养提升

1.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)      B．(－2,6)     C．(2，－6)    D．(－2，－6)

解析：由题意可知，4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c.

∴d＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)．∴d＝(－2，－6)．

答案：D

2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若a－2b与非零向量m a＋n b共线，则等于(　　)

A．－2      B．2      C．－ D.

解析：因为向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

所以a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，

m a＋n b＝(2m－n,3m＋2n)．

因为a－2b与非零向量ma＋nb共线，

所以＝，解得14m＝－7n，＝－.

答案：C

3.已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足  ＝  ，则点P的坐标是________．

解析：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)．

∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．

即，解得，∴P(－1，－)．

答案：(－1，－)

4.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值________．

解析：因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－3×2＝0，故λ＝.

答案：

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第33页  练习     第1，2，3,4,5题

         第36 页   习题6.3  第5,6,7,8，12题